Problemas de entendimiento de Hadamard es la prueba de que no hay ceros de la función zeta con parte real 1

Question

Por lo que estuve leyendo Hadamard de 1896 papel, aquí (fr), que es el más célebres de la prueba del hecho de que no hay ceros de la función zeta con parte real 1 (y por lo tanto por el teorema de los números primos). Mi francés es un poco de mala calidad - que puede ser el problema, pero yo no lo creo. Los primeros cuatro artículos dedicados a demostrar la ausencia de ceros, en los próximos seis a la extensión de la prueba de funciones relacionadas, y el resto para usarlo para demostrar el PNT y algunos corolarios. Es el artículo 3, en particular, estoy confundido por - parece que su argumento es el siguiente:

• Supongamos que $1 + ti$, $t$ real, es un cero de la función zeta.
• Para algunos $\alpha < \frac{\pi}{2}$, considere la posibilidad de los números primos para que $t\log p$ está dentro de $\alpha$ de una extraña múltiples de $\pi$; llamarlos $q$.
• Por algunos bastante simple álgebra (esta parte me hizo seguir), si $\rho = \limsup_{s\to1}\frac{\sum_q q^s}{\sum_p p^s} < 1$ $\Re[\log\zeta(1+\epsilon+it)] \ge -(\rho + (1 - \rho)\cos\alpha)\log\zeta(1+\epsilon)$, $\epsilon$ siendo, como siempre lo suficientemente pequeño reales positivos.

Entonces viene mi problema: Hadamard escribe "...ce qui serait en contradicción avec l''hypothèse $\zeta(1+ti) = 0$, ainsi qu'il a été remarqué au numéro précédent," ya que entiendo que al decir "...que estaría en contradicción con la hipótesis de $\zeta(1+ti) = 0$, como se indicó en el anterior artículo (párrafo? 'numéro')."

(Artículo 4, a continuación se va a mostrar que el límite de 1 significaría un poste en $1+2ti$, y esa parte fue bien).

Artículo 2 menciona que si hay un cero de ahí, el enfoque paralelo al eje real se acercaría de manera similar a $\log(s-1)$, y que tiene sentido, pero parece que todos los que se establece aquí es una constante múltiples, y que está permitido, ¿no? Lo que me estoy perdiendo?

Para ser claro, no estoy pidiendo una prueba de este hecho; sé más fácil la prueba, pero debido a la posición que ocupa en la historia, estoy buscando para entenderlo.

Answer 1

Parece ser que hay una imprecisión en Hadamard de la escritura. En el párrafo 2, escribe que si $\zeta$ tenía un cero en$1 + ti$,$s > 1$, tendríamos

$$\operatorname{Re} \log \zeta(s+ti) \sim \log (s-1) \sim -\operatorname{Re} \log \zeta(s),$$

si interpreto correctamente. Que es sólo el caso de simple ceros. Por lo general, si $\zeta$ tenía un cero de multiplicidad $\mu$$1 + ti$, escribir

$$\zeta(z) = (z - 1 - ti)^{\mu}\cdot g(z)$$

con un holomorphic $g$ que no se desvanecen en un barrio de $1+ti$, nos encontramos con

$$\operatorname{Re} \log \zeta(s + ti) = \mu \log (s-1) + \log \lvert g(s+ti)\rvert,\tag{$\ast$}$$

donde $\log \lvert g(z)\rvert$ está delimitada en un barrio de $1 + ti$. Así

pero parece que todos los que se establece aquí es una constante múltiples

es derecho. Aparte de la limitada partes, el comportamiento es el de un constante múltiples de $\log (s-1)$.

Pero el factor constante no es arbitraria, es un entero positivo. Por lo tanto es $\geqslant 1$. Y en el párrafo 3, Hadamard muestra que si $\rho < 1$, $\operatorname{Re} \log \zeta(s + ti)$ tiende a $-\infty$ en la mayoría de los tan rápido como $\theta\log (s-1)$ donde $0 < \theta < 1$. Y eso contradice $(\ast)$.