¿Cómo pruebo$A \cup\varnothing = A$ y$A \cap\varnothing = \varnothing$

Question

$$A \cup \emptyset = A \qquad \text{and} \qquad A \cap \emptyset = \emptyset$$

Sé que estas son identidades, pero no estoy seguro de cómo empezar.

Answer 1

Para la primera.

Deje $a\in A\cup \varnothing$. A continuación, $a\in A$ o $a\in\varnothing$. Desde $a\in\varnothing$ es falso, independientemente de $a$, pero asumimos $a\in A\cup \varnothing$, $a\in A$ es verdadero, de modo que $A\cup \varnothing \subseteq A$. Por el contrario, $A\cup \varnothing \supseteq A$ trivialmente, por lo $A=A\cup\varnothing$.

Se puede hacer el otro?

Answer 2

Estas tautologías son útiles. $$P\wedge T \iff P$$ y $$P\vee F \iff P.$$

Answer 3

Sugerencia: Si $X$ $Y$ son conjuntos y le gustaría probar $X = Y$, luego de hacerlo en dos pasos

1. Demostrar $X \subseteq Y$, es decir, demostrar que cada elemento contenido en $X$ también se encuentra en $Y$.
2. Demostrar $Y \subseteq X$, es decir, demostrar que cada elemento contenido en $Y$ también se encuentra en $X$.

Alternativamente, si usted desea probar $X = \emptyset$ usted debe demostrar que el $X$ no contiene elementos. El uso de la primera estrategia para $A \cup \emptyset = A$, y utilizar la segunda para $A \cap \emptyset = \emptyset$.