densidad de probabilidad del máximo de las muestras de una distribución uniforme

Question

Supongamos que

$$X_1, X_2, \dots, X_n\sim Unif(0, \theta), iid$$

y supongamos

$$\hat\theta = \max\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$$

¿Cómo puedo encontrar la densidad de probabilidad de $\hat\theta$ ?

Gracias.

Answer 1

\begin{align} P(Y\leq x) &= P(\max(X_1,X_2 ,\cdots,X_n)\leq x)\\ &= P(X_1\leq x,X_2\leq x,\cdots,X_n\leq x)\\ &\stackrel{ind}{=} \prod_{i=1}^nP(X_i\leq x )\\ &= \prod_{i=1}^n\dfrac{x}{\theta}\\&=\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^n \end{align}

Answer 2

Sea la variable aleatoria $W$ denotan el máximo de la $X_i$ . Supondremos que el $X_i$ son independientes, de lo contrario podemos decir muy poco sobre la distribución de $W$ .

Tenga en cuenta que el máximo de la $X_i$ es $\le w$ si y sólo si todo el $X_i$ son $\le w$ . Para $w$ en el intervalo $[0,\theta]$ la probabilidad de que $X_i\le w$ es $\frac{w}{\theta}$ . Se deduce por independencia que la probabilidad de que $W\le w$ es $\left(\frac{w}{\theta}\right)^n$ .

Así, en nuestro intervalo, la función de distribución acumulativa $F_W(w)$ de $W$ viene dada por $$F_W(w)= \left(\frac{w}{\theta}\right)^n.$$ Diferencie para obtener la función de densidad de $W$ .

Answer 3

La fórmula general para la densidad de probabilidad del máximo de cualquier $iid$ conjunto muestral de la variable aleatoria $x$ , $M = max\{x_1,x_2,…,x_n\}$ es: $$f_M(M = x) = n * F_x(x)^{n-1} * f_x(x)$$ donde $f_x(x)$ es la densidad de probabilidad de $x$ y $F_x(x)$ es la función de distribución acumulativa de la misma.

En este caso tenemos: $f_x(x) = \frac{1}{\theta}$ , $F_x(x) = \frac{x}{\theta}$ por lo que obtenemos: $$f_M(M = x) = n * (\frac{x}{\theta})^{n-1} * \frac{1}{\theta}$$ $$= \frac{n * x^{n-1}}{\theta^n}$$