¿Cómo hago para resolver esto? Fui a la tutoría y el tutor dijo que estoy tratando de llegar a una matriz de Identidad, por lo que debería comenzar con una matriz de identidad y mezclar los valores hasta obtener una solución. He trabajado en esto durante 2 horas y tiene que haber una manera más fácil. ¡Por favor ayuda!
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Leon Katsnelson
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Una manera de hacerlo es asegurarse de que $A^4+A^3+A^2+A+I=0$. Desde $A$$4\times 4$, en realidad, es inevitable encontrar un no-cero polinomio de grado $4$ satisfecho por $A$. Desde $A^5-I=0$ pero $A-I\ne0$, el polinomio que he sugerido es simplemente el factor de $x^4+x^3+x^2+x+1$$x^5-1$.
Una $A$ con esta propiedad es $$ \begin{bmatrix} 0&0&0&-1 \\ 1&0&0&-1\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&1&-1\end{bmatrix}.$$ De hecho, si usted quiere una $n\times n$ matriz $A$ a satisfacer un grado $n$ polinomio $$p(x)=a_0+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1} +x^n,$$ that is, $p(a)=0$, make $e_{i+1}$ the $i$th column of $$ for $i<n$, and make the last column $(-a_0,-a_1,\dots,-a_{n-1})^T$.
Como se ha mencionado en los comentarios, esta matriz se llama el compañero de $p$. Que tiene la propiedad de que $p(A)=0$, y si $q(A)=0$, $p$ divide $q$ (como polinomios), que es, $p$ es el polinomio mínimo de a $A$.
El Cayley-Hamilton teorema nos da que para cualquier $n\times n$ matriz$B$, $r(B)=0$ donde $r(x)$ es el polinomio característico de $B$, $r(x)=\det(xI-B)$. Este es un monic polinomio de grado $n$. En particular, desde la $p$ tiene el grado $n$ y es monic, tenemos que $p$ también es el polinomio característico de su compañero matriz $A$.
A ver que $p(A)=0$, se puede, por supuesto, sólo se multiplican. Pero permítanme mostrarles en general que esto tiene, y que $p$ es el polinomio mínimo de a $A$: Pensar acerca de la $4\times 4$ ejemplo tenemos, y tenga en cuenta que $e_1$, $Ae_1=e_2$, $A^2e_1=Ae_2=e_3$, y $A^3e_1=AA^2e_1=Ae_3=e_4$ son independientes, por lo $A$ no puede satisfacer a un polinomio distinto de cero $s(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^2+\delta x^3$ grado $3$ o menos, ya $$s(A)e_1=(\alpha I+\beta A+\gamma A^2+\delta A^3)e_1=\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3+\delta e_4 $$ is a nontrivial linear combination of basis vectors. On the other hand, $$A^4e_1=Ae_4=-e_1-e_2-e_3-e_4=-e_1-Ae_1-A^2e_1-A^3e_1, $$ así $$ p(A)e_1=(A^4+A^3+A^2+A+I)e_1=0. $$ También, $p(A)e_2=p(A)Ae_1=Ap(A)e_1=A0=0$, y de manera similar a $p(A)e_3=p(A)e_4=0$. Pero, a continuación, $p(A)v=0$ cualquier $v$ que es una combinación lineal de $e_1,\dots,e_4$, esto es, para cualquier $v$, y por lo tanto $p(A)=0$.
