¿La normalidad de un subgrupo depende de qué grupo es su padre?

Question

Es importante entender la relación de la normal de subgrupos de sus padres. Un concepto que hay que entender es si la normalidad de un subgrupo no depende de que el grupo de padres es un subgrupo de. Esto es cierto para algunos subgrupos ($\{e\}$ siempre es normal en cualquier grupo), pero es generalmente cierto para cada grupo? La pregunta puede ser formulada en forma simbólica: vamos a $G, K$ grupos y $H \leq G$ e $H \leq K$. Si $H \lhd G$ entonces necesariamente $H \lhd K$?

Answer 1

La normalidad es relativa al grupo de padres. Esto es evidente en la forma en que se define. Para un grupo de $G$ y de los subgrupos $N$ de $G$ nos dicen que $N$ es normal en $G$ si para todas las $g \in G$ tenemos $N^g=N$. Lo que trae el grupo de padres en la definición es el "si para todas las $g \in G$" poco.

Para dar un ejemplo concreto: cada grupo es un subgrupo normal de sí, claramente. Ahora vamos a $G$ ser un no-abelian grupo simple finito y deje $H$ ser un adecuado y no trivial subgrupo de $G$. A continuación, $H$ es normal en sí mismo, pero no es normal en $G$.

Answer 2

Sí.

$S_4$ tiene un subgrupo Sylow-3 $\mathbb{Z}_3$ , pero no es normal porque la cantidad de subgrupos Sylow-3 $> 1$ . Y un subgrupo de Sylow-p es normal si. $n_p = 1$ . $S_3$ tiene $\mathbb{Z}_3$ como un subgrupo de Sylow-p normal por la misma razón.