Diferencia entre el $\nabla\cdot a$ y $a\cdot\nabla$

Question

Hola soy nuevo en el cálculo vectorial y tengo una pregunta básica . El operador del que se define como $\nabla = \Bigl(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\Bigr)$ que es básicamente un vector.

Dejemos que $a = (a_1,a_2,a_3)$ sea un vector (o una función vectorial) . Entonces $a\cdot\nabla = a_1\frac{\partial }{\partial x}+a_2\frac{\partial }{\partial y}+a_3\frac{\partial }{\partial z}$ y $\nabla\cdot a =\frac{\partial a_1}{\partial x}+\frac{\partial a_2}{\partial y}+\frac{\partial a_3}{\partial z} $ obviamente ambos no son iguales, es decir $\nabla\cdot a \neq a \cdot\nabla$ . Pero ambos $a,\nabla$ son vectores y para los vectores el producto punto es conmutativo, es decir $\nabla\cdot a = a \cdot\nabla$ debería ser cierto. Encuentro esto confuso, por favor explíquelo.

Answer 1

Sí, como has notado, no son iguales.

Es cierto lo que dices: $$a\cdot \nabla = a_1\cdot \frac{\partial}{\partial x}+a_2\cdot \frac{\partial}{\partial y}+a_3\cdot \frac{\partial}{\partial z}$$

Y eso $$\nabla \cdot a = \frac{\partial a_1}{\partial x}+\frac{\partial a_2}{\partial y}+\frac{\partial a_3}{\partial z}$$

$\nabla$ es un operador, no un vector. Funciona con funciones, no con vectores o escalares. Sigue siendo práctico utilizar esta notación porque la diferenciación es una operación lineal, lo que significa que casi siempre podemos Representar a con álgebras lineales por una matriz de alguna manera.

La linealidad con la que se comporta la diferenciación sobre las funciones es de alguna manera "compatible" con el lenguaje del álgebra lineal.

Answer 2

El producto punto es conmutativo si sus argumentos son conmutativos. Pero $\nabla$ es un operador y $a$ es una función vectorial; no conmutan.

Sin embargo, esto es sólo una parte de la explicación. La otra parte es que $\nabla \cdot a$ se define por $\nabla$ sólo trabajando en $a$ . Si se hubiera definido como un operador que actúa sobre una función escalar por $$(\nabla \cdot a) \phi := \sum_k \frac{\partial}{\partial x_k}(a_k \phi) \quad \quad\text{(NB: not the correct definition!)}$$ entonces la no conmutatividad habría tenido más importancia.