¿Podría$\langle \Gamma | R \rangle \cong \langle \Gamma | S\rangle$ si$\langle R\rangle \subsetneq \langle S\rangle$?

Question

Si tenemos dos grupos presentados de forma finita $\langle \Gamma | R\rangle$ y $\langle \Gamma | S\rangle$ con $\langle R\rangle \subsetneq \langle S\rangle$ , ¿podrían ser isomorfos?

Answer 1

Sí. Un ejemplo es $\langle x,y \mid x \rangle$ y $\langle x,y \mid x,y^{-1}xy \rangle$ .

Ambas presentaciones definen un grupo cíclico infinito, pero $\langle x \rangle$ y $\langle x,y^{-1}xy \rangle$ son subgrupos distintos del grupo libre en $x,y$ . El primero es cíclico y el segundo está libre de rango $2$ en sus generadores.