Calcular Integral$\int _{0}^{\infty} \frac {(\ln x)^2}{\sqrt x (1-x)^2} \mathrm dx$

Question

Calcular Integral $$\int _{0}^{\infty} \frac {(\ln x)^2}{\sqrt x (1-x)^2} \mathrm dx$ $

Creo que se puede resolver utilizando la integración por partes. Pero soy incapaz de resolverlo. Por favor ayuda.

Answer 1

Llama a esta integral $I$ . La identidad $\int_0^\infty f(x)dx=\int_0^1\left(f(x)+\frac{1}{x^2}f(\frac{1}{x})\right)\mathrm{d}x$ da $$I=\int_0^1\frac{x^{1/2}+x^{-1/2}}{(1-x)^2}\ln^2 x\mathrm{d}x.$$We can expand $ (1-x) ^ {- 2}$ as a power series $ \ sum_ {k \ ge 1} kx ^ {k-1}% # PS

Answer 2

Deje $t=\sqrt{x}$, luego $$\int _{0}^{\infty} \frac {(\ln x)^2}{\sqrt x (1-x)^2} \,dx=\int _{0}^{\infty} \frac {(\ln t^2)^2}{t (1-t^2)^2} \,2tdt= 8\int _{0}^{\infty} \frac {(\ln t)^2}{(1-t^2)^2} \,dt= \frac{8\pi^2}{4}=2\pi^2$$ donde en el último paso usamos el Hallazgo $\int^{\infty}_{0}\frac{\ln^2(x)}{(1-x^2)^2} dx$ sugerido por mrtaurho.

En cuanto a $\int_0^\infty\frac{\ln^2x}{(1-x^2)^2}\,dx$, esta es una variante de TheSimpliFire del enfoque dado en un comentario en el vinculado pregunta.

Dejando $x=e^t$ tenemos $$\begin{align*} \int_0^\infty\frac{\ln^2x}{(1-x^2)^2}\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\frac{t^2e^{t}}{(1-e^{2t})^2}\,dt\\ &=\int_{0}^{+\infty}\frac{t^2e^{-t}}{(1-e^{-2t})^2}\,dt+\int_{0}^\infty\frac{t^2e^{-3t}}{(1-e^{-2t})^2}\,dt\\ &=\sum_{n=0}^\infty (1+n)\int_0^\infty t^2e^{-(2n+1)t}\,dt+\sum_{n=0}^\infty (1+n)\int_0^\infty t^2e^{-(2n+3)t}\,dt\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{2(1+n)}{(2n+1)^3}+\sum_{n=0}^\infty\frac{2(1+n)}{(2n+3)^3}\\ &=\frac{\pi^2+7\zeta(3)}8+\frac{\pi^2-7\zeta(3)}8=\frac{\pi^2}{4}. \end{align*}$$