La no unicidad del parámetro de orden y su exponente crítico

Question

En la teoría de las transiciones de fase, un parámetro de orden suele definirse como alguna cantidad que distingue las dos fases del sistema por ser nula en una fase y distinta de cero en la otra (véase, por ejemplo este y este pregunta). Esta definición siempre me ha confundido ya que parece una definición muy amplia. Una misma transición de fase puede estudiarse a través de muchas magnitudes distintas que actúan como parámetro de orden. Este pregunta también discute esta no unicidad, sin embargo, sin ninguna respuesta concluyente.

Aunque esto me confundió un poco, nunca pensé que hubiera un problema real por tener esta definición tan amplia. Pero entonces vi que la gente hablaba de el parámetro de orden exponente crítico. Al principio pensé que tal vez el exponente crítico del parámetro de orden es único, aunque el propio parámetro de orden no lo sea. Sin embargo, es evidente que no es así.

Dejemos que $M(t)$ sea un parámetro de orden válido de alguna transición de fase, donde $t\equiv \frac{T-T_c}{T_c}$ es la temperatura reducida. Ya que es un parámetro de orden, $M$ es idéntico a cero en una fase (por ejemplo $t\le 0$ ), y distinto de cero en el otro. Por definición para cualquier función $f(M)$ que sólo tiene una raíz en $M=0$ la cantidad: $$M^*(t):= f(M(t))$$ también satisface completamente la definición de un parámetro de orden. En $t\leq0$ , $M^*=f(0)=0$ y en $t>0$ , $M^* \neq 0$ ya que $M\neq 0$ y $f$ no tiene más raíces que el origen. Ahora cerca de la transición $t \to 0$ , $M \propto t^\beta$ , donde $\beta$ es el exponente crítico del parámetro de orden. Utilizando una expansión de Taylor, el comportamiento de $M^*$ cerca de la transición es: $$M^*(t)=f(M(t))=f(A t^\beta)=0+f'(0)At^\beta+\frac12 f''(0)At^{2\beta}+O(t^{3\beta})$$ Ahora si $f'(0)\neq 0$ todo funciona bien y el exponente crítico para $M^*$ es la misma que la de $M$ . Sin embargo, cuando $f'(0)=0$ el exponente crítico de los dos parámetros de orden será diferente.

Por ejemplo, para el resultado de la teoría del campo medio del modelo de Ising, si $M \sim t^{1/2}$ , entonces otro parámetro de orden definido por el cuadrado va como $M^*:=M^2 \sim t^{1}$ . En mi opinión, sólo puede haber dos resoluciones posibles para este problema:

1. Tanto el parámetro de orden como su exponente crítico no están definidos de forma única, y cuando se habla de el parámetro de orden y el exponente crítico, suponen implícitamente que todos sus interlocutores tienen en mente la misma cantidad concreta.
2. Hay una definición más específica y restrictiva de lo que es un parámetro de orden, que yo (y aparentemente muchos otros) no conocemos.

Sería estupendo que alguien me dijera cuál es la correcta.

Answer 1

Creo que la sabiduría convencional es correcta, la elección del parámetro de orden no importa (siempre y cuando se conserven las simetrías, y redefinamos las variables conjugadas).

Creo que el principal error del post es que asumes que si $M$ escalas como $M\sim t^\beta$ entonces $M^a$ escalas como $M^a\sim t^{a\beta}$ . Pero este no es el caso, $M$ es una variable estocástica, y el comportamiento de la escala es $\langle M\rangle \sim t^\beta$ . No existe una relación sencilla entre la escala de $\langle M\rangle$ y $\langle M^a\rangle$ . También hay que tener en cuenta que el uso de $M^2$ no es un buen ejemplo, porque $M^2$ tiene diferentes simetrías (y de hecho no es un parámetro de orden en el caso de Ising).

La forma de investigar esto es partir del funcional de Landau-Ginzburg $$ {\cal F} = \int d^3x \left(\gamma(\nabla M)^2 +\alpha M^2 +\beta M^4 + \ldots +Mh\right) $$ y realizar un cambio de variables. Mientras la nueva variable tenga las mismas simetrías que la antigua, la forma del funcional LG no cambia, y las predicciones universales siguen siendo las mismas.

Answer 2

El punto de vista de la mecánica estadística clásica es, en efecto, que el parámetro de orden no es único. Por ejemplo, en su excelente Conferencias sobre transiciones de fase y el grupo de renormalización Goldenfeld escribe

El parámetro de orden para un sistema dado no es único; cualquier variable termodinámica que sea cero en la fase no ordenada y distinta de cero en una fase adyacente (en el diagrama de fases), normalmente ordenada, es una elección posible para un parámetro de orden. Trivialmente, podríamos elegir perfectamente $M^3$ como parámetro de orden en un ferromagneto.

Por desgracia, no creo que se detenga en las consecuencias de tal elección. Como ha señalado en la pregunta, tal redefinición funcional del parámetro de orden conduce genéricamente a cambiar los exponentes críticos.

En el formalismo de Landau-Ginzburg, el funcional de Landau está dado en potencias del parámetro de orden y sus gradientes. Creo que esto debería restringir las redefiniciones funcionales permitidas a funciones analíticas. Es útil restringir aún más esta definición exigiendo que el parámetro de orden sea una función de los observables. Esto todavía no es único, y es una de las razones del debate sobre cuál es el parámetro de orden correcto (si es que hay alguno) para, por ejemplo, la transición de Mott.

A continuación podemos considerar el acoplamiento a algún parámetro externo (por ejemplo, un campo magnético, que daría el término $\mathbf{M}\cdot\mathbf{H}$ ). La primera derivada del funcional de Landau con respecto a este campo externo es precisamente el parámetro de orden 1 . Esto es un poco circular, porque también podríamos redefinir el campo. Sin embargo, el modelo es obviamente más útil cuando el parámetro externo se elige como un parámetro físico o campo. Y si se conoce el acoplamiento entre el campo y los observables, este hecho puede utilizarse para fijar 2 la naturaleza del $\mathbf{M}$ en el $\mathbf{M}\cdot\mathbf{H}$ término. En la práctica, esto suele conducir a un parámetro de orden que es un observable lineal, como señaló Nortbert Shuch en un comentario.

Así que, sí, cuando la gente habla de el parámetro de orden o el exponente crítico para una determinada transición, tienden a asumir que todo el mundo está hablando de la misma cantidad. Sin embargo, también debería ser generalmente un parámetro de orden motivado físicamente que se acopla a un campo apropiado.

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1 : La primera derivada también puede incluir términos de orden superior en el parámetro de orden, pero todavía podemos aislar el término de orden inferior.

2 : Tenga en cuenta que el funcional de Landau es, al menos en principio, posible de derivar como una teoría de campo medio del Hamiltoniano subyacente.

Answer 3

Weinberg hace la siguiente sugerencia (en la página 225 de la Teoría Cuántica de los Campos, Vol. II):

En su ejemplo, la magnetización $M$ es un parámetro de orden en este sentido: en el estado normal se transforma en la representación vectorial del grupo de rotación no roto, se vuelve sin masa justo en la transición y en el estado roto de simetría crea bosones de Goldstone. Una función general $f(M)$ no tendrá esta propiedad.