Deje que $ \phi = \frac {1+ \sqrt {5}}{2}$ y $ \psi = \frac {1- \sqrt {5}}{2}=- \phi ^{-1}$ . Luego $ \sqrt {5}F_n= \phi ^n- \psi ^n$ . $$ \begin {align} F_n^k & = 5^{-k/2}( \phi ^n- \psi ^n)^k \\ & = 5^{-k/2} \sum_ {j=0}^k \binom {k}{j} \phi ^{n(k-j)}(- \psi ^n)^j \\ & = 5^{-k/2} \sum_ {j=0}^k \binom {k}{j}(-1)^{j(n+1)} \phi ^{n(k-2j)} \end {align} $$ y $$ \begin {align} F_n^{k+2} & = 5^{-(k+2)/2}( \phi ^n- \psi ^n)^{k+2} \\ & = 5^{-(k+2)/2} \sum_ {j=0}^{k+2} \binom {k+2}{j}(-1)^{j(n+1)} \phi ^{n(k+2-2j)} \\ & = 5^{-(k+2)/2} \left ( \phi ^{n(k+2)}+ \sum_ {j=1}^{k+1} \binom {k+2}{j}(-1)^{j(n+1)} \phi ^{n(k+2-2j)}+(-1)^{k+2} \psi ^{n(k+2)} \right ) \end {align} $$ Cuando $k$ es impar podemos reescribir lo anterior como $$ \begin {align} F_n^{k+2} - 5^{-(k+1)/2}F_{n(k+2)} & = 5^{-(k+2)/2} \sum_ {j=0}^{k} \binom {k+2}{j+1}(-1)^{(j+1)(n+1)} \phi ^{n(k-2j)} \end {align} $$
Entonces considere la función generadora $$ \begin {align} f(x) & = \sum_ {n=0}^ \infty F_n^kx^n \\ & = 5^{-k/2} \sum_ {n=0}^ \infty\sum_ {j=0}^k \binom kj (-1)^j((-1)^j \phi ^{k-2j})^nx^n \\ & = 5^{-k/2} \sum_ {j=0}^k \binom kj \frac {(-1)^j}{1-(-1)^j \phi ^{k-2j}x} \\ & = \frac {P(x)}{ \prod_ {j=0}^k (1-(-1)^j \phi ^{k-2j}x)} \\ & = \frac {P(x)}{1+a_1x+a_2x^2+ \cdots +x^k} \end {align} $$ para algunos polinomios $P(x)$ que indica que $F_n^k$ obedece a la relación de recurrencia $F_n^k+a_1F_{n-1}^k+a_2F_{n-2}^k+ \cdots +F_{n-k}^k=0$ .
Ahora deja que $G_n = F_n^{k+2}-5^{-(k+1)/2}F_{n(k+2)}$ y considerar la función generadora de $G_n$ utilizando la forma que establecimos anteriormente $$ \begin {align} g(x) & = \sum_ {x=0}^ \infty G_n x^n \\ & = 5^{-(k+2)/2} \sum_ {n=0}^ \infty\sum_ {j=0}^k \binom {k+2}{j+1} (-1)^{j+1}((-1)^{j+1} \phi ^{k-2j})^nx^n \\ & = \frac {Q(x)}{ \prod_ {j=0}^k (1-(-1)^{j+1} \phi ^{k-2j}x)} \\ & = \frac {Q(x)}{1+b_1x+b_2x^2+ \cdots +x^k} \end {align} $$ para algunos polinomios $Q(x)$ . Desde la penúltima línea está claro que las raíces del polinomio en el denominador son los negativos de las raíces del denominador en la expresión para $f(x)$ arriba, así que $b_i=(-1)^ia_i$ y así $G_n$ obedece a la relación de recurrencia $$G_{n+h}-a_1G_{n+h-1}+a_2G_{n+h-2}- \cdots +G_{n-h}=0 \\ F_{n+h}^{k+2}-a_1F_{n+h-1}^{k+2}+a_2F_{n+h-2}^{k+2}- \cdots +F_{n-h}^{k+2}= \pm 5^{-(k+1)/2} \sum_ {i=-h}^{h}(-1)^ia_iF_{(k+2)(n+i)} $$ donde $h=(k-1)/2$ . Hay un poco más de trabajo para verificar que el lado derecho es un múltiplo de $F_{n(k+2)}$ pero esto da una respuesta a la pregunta de por qué se reciclan los coeficientes. Son los coeficientes del polinomio con raíces $ \phi , \psi ,- \phi ^3,- \psi ^3, \phi ^5, \psi ^5, \ldots $ .
Podemos generalizar más moviendo cuatro términos al lado izquierdo: $$ F_n^{k+4}-5^{-(k+3)/2} \left (F_{n(k+4)}-(-1)^n(k+4)F_{n(k+2)} \right ) = \\ 5^{-(k+4)/2} \sum_ {j=0}^{k} \binom {k+4}{j+2}(-1)^{(j+2)(n+1)} \phi ^{n(k-2j)} $$ para conseguir identidades adicionales como estas: $$ \begin {align} F_{n+2}^7-3F_{n+1}^7-6&F_n^7+3F_{n-1}^7+F_{n-2}^7 &= 6F_{7n}-(-1)^n \frac {42}{5}F_{5n} \\ F_{n+3}^9-8F_{n+2}^9-40F_{n+1}^9+60&F_n^9+40F_{n-1}^9-8F_{n-2}^9-F_{n-3}^9 &= 624 F_{9n}+(-1)^n 432 F_{7n} \\ \end {align} $$
