Si una colección de conjuntos cerrados de cardinalidad arbitraria en un espacio métrico tiene una intersección vacía, ¿existe alguna sub-colección contable?

Question

En esta pregunta me afirmación de que cada secuencia anidada de limitada subconjuntos cerrados de un espacio métrico tiene intersección no vacía si y sólo si el espacio en el que se Heine-Borel de la propiedad. Sin embargo, hay algo que puede lanzar una llave inglesa en la prueba: lo que si es posible que haya una innumerable colección de subconjuntos cerrados con intersección vacía de tal forma que cada contables subcolección tiene intersección no vacía?

Es esto posible en un espacio métrico?

Answer 1

Sea $X$ un conjunto incontable dotado de la métrica discreta. Luego, la familia $\{X\setminus\{x\}\,|\,x\in X\}$ es una familia incontable de subconjuntos cerrados con intersección vacía. Pero ninguna subfamilia contable tiene esa propiedad.

Answer 2

La propiedad de que "si una familia de conjuntos cerrados tiene una intersección vacía, entonces hay una subfamilia contable con intersección vacía", tiene un nombre. Se llama Lindelöf. En un espacio métrico, esto es equivalente a tener un subconjunto denso contable (separable) y muchas otras propiedades de contabilidad similares.

Por lo tanto, el ejemplo de Santos fue el ejemplo estándar de un espacio métrico no separable.