¿Demuestra que el área del triángulo de isoceles en una elipse es máxima cuando el vértice en el eje mayor se encuentra en la línea de simetría del triángulo?

Question

Este es uno de 101 clases de preguntas cuyas soluciones se pueden encontrar fácilmente en google, pero la mayoría de las soluciones de asumir sin dar ninguna línea de razonamiento que para maximizar el área de la (única)vértice en el eje principal debe estar en la línea de simetría del triángulo?

Yo quería abordar esta cuestión de manera más rigurosa, sólo para satisfacer mi curiosidad, así que me puse en la prueba de escritura de viaje con la siguiente línea de razonamiento:

1. Maximizar el Área de Siempre Vértice En el eje Principal se Encuentra En la línea de Simetría .(FÁCIL)
2. Maximizar el Área de Siempre Vértice En el Eje Principal no reside en la línea de Simetría.

(^ATASCADO AQUÍ)

3. Intente establecer la desigualdad entre dos

El paso 1 es bastante fácil con el botín de (casi igual)soluciones en internet

Paso 2 comienza fácil, pero se convierte en gigante monstruosidad

En el problema dado en un único vértice que ya está dado $(a,0)$

Permite encontrar la ecuación de la base BC de nuestro Triangulo Isoceles con Pendiente $m$ uniendo el vértice $C(a,0)$ e $B(x_1,y_1)$ que se encuentra en la elipse, excepto la línea de simetría/eje mayor.

Aquí cómo el Paso 2 Sigue a grandes rasgos :

1. Encontrar la solución a otra base de vértice $B(x_1,y_1)$ en términos de la pendiente $m$ de $BC$
2. Calcular La longitud de la base BC.
3. Encontrar la solución a la altura del vértice en términos de la pendiente $m$ base $BC$
4. Calcular la longitud de Altitud
5. Poner los términos en la fórmula del Área($\Delta$) y evaluar $$ \frac{d \Delta}{dm} = 0 $$

Solución a la Base de Vértice

$b \sqrt{1-(\frac{x_1}{a})^2} = m(x_1-a)$ - (i)

$b^2(1-(\frac{x_1}{a})^2) = m^2(x_1-a)^2$ - (ii)

La solución de más:

$$\frac{x_1}{a} = \frac{(am)^2 - b^2}{(am)^2 + b^2}$$ -(iii)

El cálculo de la longitud de la Base

$L^2 = (x_1 - a)^2 + (y_1-0)^2$

$L^2 = (\frac{y_1}{m})^2 + (y_1)^2$ -- usando (ii)

La solución de (iii) se utiliza entre el omiten los pasos):

$$L = \frac{2ab^2}{(am)^2 + b^2}(\sqrt{1+m^2})$$

Solución a la Altura del Vértice

1. Encontrar la Normal A la base de $BC$ , que pasa por su punto medio.
2. Resolver Las Ecuaciones Simultáneas de la Normalidad y la elipse

Punto medio $(\frac{x_1+a}{2},\frac{y_1}{2})$

$y - y_1 = -\frac{1}{m}(x-\frac{x_1+a}{2})$

La solución de uso (iii) :

Podemos escribir la ecuación en la forma compacta y elegante forma:

$Q=\frac{am^2(a^2-b^2)}{(am)^2+b^2}$

$$ y = \frac{(Q-x)}{m}$$

Prepárate para el próximo monstruosidad

Resolviendo las ecuaciones simultáneas conducir a muy insostenible solución a la Altura del vértice de Un$(x_a,y_a)$

$m^2y^2 = Q^2+ x^2 - 2Qx$

$m^2b^2(1- (\frac{x}{a})^2) = Q^2+ x^2 - 2Qx$

$$ x_a = \frac{Q \pm \frac{mb\sqrt{a^2+(mb)^2 - Q^2}}{a}}{1 + (\frac{mb}{a})^2}$$

Donde Estoy ATASCADO?

Ahora no sé cómo domar a la solución para que yo pueda encontrar un elegante ecuación para el cálculo de la longitud de la altura.

He tratado de muchas maneras de encontrar alguna relación matemática para reducir la solución elegante y compacto de forma, pero no ayuda :(

1. Tratado de escribir la equationin paramétrico/trigonométricas formulario
2. Trató de usar la pendiente de ángulo entre las líneas de relación utilizando isoceles propiedades
3. Trató de usar a distancia/paramétrico forma de línea para calcular la longitud de altitud

Altitud = $(x_a - x_{midpoint})\sec{\theta}$

$=(x_a - x_{midpoint})\sqrt{1+(\frac{-1}{m})^2}$

Ponerlo en la fórmula del área y la búsqueda de las raíces de la derivada primera conduce a los ojos-medición de solución a m, no me atrevo a publicar aquí

↑ Esta es la mejor solución I v tengo :(

EDIT: los Diagramas se agregan!

Answer 1

Usted puede pensar de una elipse con eje semi-mayor $a$ y semi-eje menor $b$, como un círculo de radio $a$ que es entonces "exprimido" por una relación de $b/a$ a lo largo de la dirección del eje menor. De cualquier polígono inscrito en el círculo se convierte entonces en un polígono inscrito en la elipse, y su área de cambios en la misma proporción $b/a$.

Pero sabemos que el triángulo de área máxima inscrito en un círculo es cualquier triángulo equilátero (véase aquí para una prueba), contando con un área de ${3\sqrt3\over4}r^2$. De ello se sigue que cualquier triángulo de área máxima inscrito en la elipse anteriormente descrito tiene un área de ${3\sqrt3\over4}ab$ y se debe a que la imagen de un triángulo equilátero después de apretar.

Entre estos triángulos, sólo hay cuatro triángulos isósceles: son la imagen de los triángulos equiláteros en el círculo de radio $a$ tener un vértice en el eje menor, o en el eje mayor, para que en caso de que dos lados ares se extendía por la misma cantidad.