como se calcula

Question

Estoy tratando de calcular la siguiente integral:

$\int_{0}^{1} x^2 \sqrt{1+x^2} dx$

Traté de resolver por partes pero no estoy llegando a ninguna parte cerca. Siento que alguna sustitución será buena aquí, sin embargo, ni $x=\cos(u)$ ni $x=\sin(u)$ me llevan a ningún lado.

Answer 1

Insinuación:

Intenta sustituir $x = \sinh u$ :

$$ \ int_0 ^ 1 x ^ 2 \ sqrt {1 + x ^ 2} \, dx = \begin{vmatrix} x = \sinh u \\ dx = \cosh u\,du\end {vmatrix} = \ int_0 ^ {\ operatorname {Arsinh 1}} \ sinh ^ 2u \ cosh ^ 2u \, du $$

Esto se simplifica a solo algunas funciones exponenciales que deberían ser fáciles de resolver:

PS

Answer 2

Primero vamos a $x = \tan u$, obtenemos

\begin{equation} {\displaystyle\int}x^2\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x ={\displaystyle\int}\sec^2\left(u\right)\tan^2\left(u\right)\sqrt{\tan^2\left(u\right)+1}\,\mathrm{d}u \end{equation} Utilizando el hecho de que $\tan^2 u + 1 =\sec^2 u$ tenemos \begin{equation} {\displaystyle\int}x^2\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x ={\displaystyle\int}\sec^3\left(u\right)\tan^2\left(u\right)\,\mathrm{d}u ={\displaystyle\int}\sec^3\left(u\right)\left(\sec^2\left(u\right)-1\right)\,\mathrm{d}u = A_5 - A_3 \end{equation} Ampliar a conseguir \begin{equation} {\displaystyle\int}x^2\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x ={\displaystyle\int}\sec^5\left(u\right)\,\mathrm{d}u-{\displaystyle\int}\sec^3\left(u\right)\,\mathrm{d}u \end{equation} Permite trabajar con $A_5$, utilizando la fórmula de reducción, \begin{equation} \small{{\displaystyle\int}\sec^{n}\left(u\right)\,\mathrm{d}u={{\dfrac{n-2}{n-1}}}\int \sec^{n-2}\left(u\right)\,\mathrm{d}u+\dfrac{\sec^{n-2}\left(u\right)\tan\left(u\right)}{n-1}} \end{equation} lo que nos da \begin{equation} A_5 =\dfrac{\sec^3\left(u\right)\tan\left(u\right)}{4}+{{\dfrac{3}{4}}}A_3 \end{equation} y \begin{equation} A_3 =\dfrac{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)}{2}+\frac{1}{2} A_1 \end{equation} Ahora $A_1$ es fácil y es conocido por ser $A_1 = \ln\left(\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)\right)$. Para conectar de nuevo hacia arriba obtenemos \begin{equation} A_3 =\dfrac{\ln\left(\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)\right)}{2}+\dfrac{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)}{2} \end{equation} y. por lo tanto el original de la integral se convierte en \begin{equation} {\displaystyle\int}x^2\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x =-\dfrac{\ln\left(\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)\right)}{8}+\dfrac{\sec^3\left(u\right)\tan\left(u\right)}{4}-\dfrac{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)}{8} \end{equation} Volver a conectar el cambio de variable y simplificando obtenemos \begin{equation} {\displaystyle\int}x^2\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x =\dfrac{\sqrt{x^2+1}\left(2x^3+x\right)-\ln\left(\left|\sqrt{x^2+1}+x\right|\right)}{8}+C \end{equation} Ahora con la integración de los límites, tenemos en la forma más simple \begin{equation} \int_0^1 x^2\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x = -\dfrac{\operatorname{arsinh}\left(1\right)-3\cdot\sqrt{2}}{8} \end{equation}

Answer 3

Así es como lo haré, primero reescribimos: $$I=\int_0^1 x^2\sqrt{1+x^2}dx=\int_0^1 x^2\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int_0^1 x\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx+\int_0^1 x^3\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$ $ Hasta ahora, todo lo que hicimos fue un poco de álgebra.

Pero adivine qué $\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\sqrt{1+x^2}+C$ , así que integrándonos por partes tenemos: $$I=x\sqrt{1+x^2}\bigg|_0^1 -\int_0^1 \sqrt{1+x^2}dx +x^3\sqrt{1+x^2}\bigg|_0^1 - 3\int_0^1 x^2 \sqrt{1+x^2}dx$ $ $$I=\sqrt 2 -\int_0^1 \sqrt{1+x^2}dx +\sqrt 2 -3I$ $ $$4I=2\sqrt 2 -\int_0^1 \sqrt{1+x^2}dx$ $ Ahora, al usar esta solución la solución es simple.