¿Por qué la constante del catalán $G$ ¿Importante?

Question

Sé que la constante de Catalan aparece en la evaluación de muchas integrales definidas, así como en la evaluación de ciertas series infinitas, y es un valor especial de una función estrechamente relacionada con la función zeta de Riemann, etc.

Pero, ¿hay alguna manera de pensar en esta constante como importante por derecho propio, y no llegar a ella "indirectamente"; no acercarse a ella sólo a través de otros conceptos "más elevados" primero, o utilizarla como una conveniente abreviatura del resultado numérico de un determinado proceso de integración o suma, etc., sino a través de algunos conceptos sencillos que te lleven primero a la idea de alguna constante importante, cuyas propiedades más sofisticadas podamos deducir luego, y al hacerlo derivar sus relaciones con las funciones trascendentales, las representaciones integrales y las series, de modo que lleguemos a la idea de la constante de Catalán en sí misma como algún concepto importante por derecho propio, sin apelar a ella como una especie de idea secundaria?

Por ejemplo, podemos hacerlo con $\pi$ y $e$ con bastante facilidad. El concepto de $\pi$ aparece como una simple idea geométrica. Sólo necesito entender algunas ideas geométricas básicas, y entonces sería sólo cuestión de tiempo que llegara a la idea de $\pi$ y entendía su importancia, aunque no comprendiera del todo la profundidad de su importancia. Lo mismo ocurre con $e,$ o incluso la constante de Euler-Mascheroni $\gamma.$ Sólo necesito algunos conceptos básicos de cálculo.

Con conceptos más sofisticados necesito, obviamente, requisitos previos más sofisticados, pero a pesar de ello, suele ocurrir que muchas ideas fundamentales tienen en realidad un germen muy simple y muy intuitivo, por lo que las ves aparecer una y otra vez, y a menudo sigue habiendo alguna relación bastante simple entre las ideas que te indica inmediatamente que algo puede ser importante, aunque esas ideas no sean en sí mismas del todo "básicas".

Con la constante de Catalán, no he visto ningún tipo de explicación que explique esto. Casi siempre es 'la constante de Catalán aparece en la evaluación de ...' que sólo te dice que es importante, pero no realmente donde de esta importancia, o por qué se le llevaría a preocuparse por esta constante como algo más que una notación útil para alguna integral o suma, a diferencia de muchos otros objetos omnipresentes en las matemáticas, donde usted podría primero captarlos como una idea importante, y luego notar sus muchos otros usos.

¿Puede alguien explicar por qué la constante de Catalán es importante, o por qué estaría motivado a preocuparse por esta constante en sí misma? Entiendo que esta pregunta puede ser vaga, pero me encantaría escuchar cualquier buena respuesta.

Answer 1

En lo que a mí respecta, me gustaría mencionar la obra de Leonard Lewin Polilogramos y función asociada . En el capítulo $2$ Al tratar la Integral Tangente Inversa, se introduce la Constante de Catalán:

El valor de $\operatorname{Ti}_2(1)$ sin embargo, no puede deducirse de esta relación funcional, y por lo que se sabe es una nueva constante de análisis, denotada por $G$ conocida como la constante del catalán. Aparece en varios contextos, y su valor, a $8$ decimales, es

$$\operatorname{Ti}_2(1)~=~G~=~0.91596559\tag{2.7}$$

Lo fascinante de esta constante es especialmente su amplia presencia en muchos problemas, a primera vista distintos, de integración de forma cerrada, así como de suma de forma cerrada. Como José Carlos Santos ya se ha señalado: teniendo en cuenta lo poco que sabemos de este número real, es impar la amplitud de su uso.

En primer lugar, he aludido a esta constante en el contexto de los dilogaritmos, concretamente invocando funciones auxiliares como la mencionada tangente integral inversa o las funciones de Clausen, y la función beta de Dirichlet, que tienden ambas a ser posibles definiciones de la constante en términos de una serie infinita, a saber

$$G~=~\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\tag1$$

Aunque esta suma se parece bastante a la función zeta de Riemann y sus parientes, no se puede relacionar con ellas de forma tan sencilla $($ la única relación funcional posible que conozco se da dentro de este artículo pero de ahí que utilice también las funciones Polygamma No llamaría a esta relación "fácil" como, por ejemplo, la existente entre la función Zeta de Riemann y la función Eta de Dirichlet $)$ . Para hablar por mí mismo del diferente "carácter" de la Función Beta de Dirichlet, es decir, que tiene valores expresables para impar enteros positivos, no siendo expresable con la sola ayuda de la función Zeta de Riemann, etc., justifica su importancia.

Por supuesto, sólo aparecer en todas partes no es un criterio para ser importante por sí solo, pero aparecer una y otra vez, especialmente en relación con $\pi$ parece implicar que hay algo más en este número. En cuanto a la apariencia me gustaría referirme a este pregunta aquí en MSE que trata de la relación entre la Constante de Catalán y $\pi$ en particular.

Para traer a colación otro punto que muestra la importancia de la Constante de Catalán, afirmaría que su papel puede compararse con el de la Constante de Apéry $\zeta(3)$ . Ambas pueden definirse en términos de series infinitas, a saber, la Función Beta de Dirichlet y la Función Zeta de Riemann, respectivamente. Ambas son los primeros enteros positivos para los que la función subyacente no puede expresarse utilizando otras constantes. Como ya se ha mencionado, existen fórmulas para los valores enteros positivos pares de la Función Zeta de Riemann y para los valores enteros positivos impares de la Función Beta de Dirichlet dadas por

\begin{align*} \zeta(2n)~&=~(-1)^{n-1}\frac{(2\pi)^n}{2(2n)!}\operatorname{B}_{2n}\tag2\\ \beta(2n+1)~&=~(-1)^n\frac{\pi^{2n+1}}{4^{n+1}(2n)!}\operatorname{E}_{2n}\tag3 \end{align*}

Mientras que definimos $\beta(2)$ como Constante de Cataluña y $\zeta(3)$ como la Constante de Apéry. Una diferencia crucial, sin embargo, es que conozca que esta última constante es de hecho irracional debido a que Apéry lo demostró ya en $1979$ . Es interesante una representación en serie similar para $G$ existe como la que Apéry utilizó dentro de su prueba. Estas series vienen dadas por

\begin{align*} \zeta(3)~&=~\frac52\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}n}\tag4\\ \beta(2)~&=~\frac\pi8\ln(2+\sqrt 3)+\frac38\sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2\binom{2n}n}\tag5 \end{align*}

En definitiva, la Constante de Catala no sólo aparece en un montón de problemas matemáticos relacionados con la integración y la suma, sino que también juega un papel bastante importante en el campo de las Funciones Zeta y afines. Yo diría que especialmente los sorprendentes paralelismos entre la Constante de Apéry y la Constante de Catalan consolidan la importancia de esta constante.

Answer 2

Es un buen ejemplo de un número real fácil de describir del que no sabemos casi nada. Ni siquiera se sabe si es racional o no.