problema de límite y valor absoluto

Question

$$\lim_{x \to -2} \frac{2-|x|}{2+x}$$

Si calculo el límite izquierdo y el derecho obtengo resultados diferentes.

A la izquierda: $$\lim_{x \to -2^-}\frac{2+x}{2+x}=1$$

A la derecha: $$\lim_{x \to -2^+} \frac{2-x}{2+x}=\text{undefined}$$

Mi pregunta es si mi procedimiento es correcto o no.

Answer 1

Desde $x \to -2$ podemos suponer que $x < 0$ para que $|x| = -x$ .

Entonces $$\frac{2-|x|}{2+x} = \frac{2+x}{2+x} = 1 \xrightarrow{x \to -2} 1$$ por lo que el límite existe y es igual a $1$ .

Answer 2

Cuando $x$ está cerca $-2$ acercándose desde la izquierda, $2+x$ equivale a $2-|x|$ (si $x<0$ entonces $x=-|x|$ ):

$$ \lim_{x\to-2^-}\frac{2-|x|}{2+x}=\lim_{x\to-2^-}\frac{2-|x|}{2-|x|}=\lim_{x\to-2^-}1=1. $$

Cuando $x$ está cerca $-2$ acercándose desde la derecha, $2+x$ también parece ser equivalente a $2-|x|$ :

$$ \lim_{x\to-2^+}\frac{2-|x|}{2+x}=\lim_{x\to-2^+}\frac{2-|x|}{2-|x|}=\lim_{x\to-2^+}1=1. $$

Como ambos límites unilaterales son iguales al mismo número, el límite existe y es igual a $1$ :

$$\lim_{x\to-2}\frac{2-|x|}{2+x}=1.$$

Aunque la función en sí es indefinida en $x=-2$ porque el denominador en ese punto es cero ( $f(-2)=\frac{2-|-2|}{2-2}=\frac{0}{0}$ ), el límite de esta función en $x=-2$ existe y es igual a $1$ .

Answer 3

Multiplicar y dividir por $2+|x|$ y cancelar: $$\lim_{x \to -2} \frac{2-|x|}{2+x}=\lim_{x \to -2} \frac{4-x^2}{(2+x)(2+|x|)}=\lim_{x \to -2} \frac{2-x}{2+|x|}=\frac{2-(-2)}{2+2}=1.$$

Answer 4

$$\lim_{x\rightarrow-2}\frac{2-|x|}{2+x}=\lim_{x\rightarrow-2}\frac{2+x}{2+x}=1.$$

Answer 5

¿Y la regla de L'Hospital?

Desde

$$\frac{2-|-2|}{2+-2}=\frac{0}{0}$$

entonces

$$\frac{d}{dx}(2-|x|)=-\frac{x}{|x|}, \frac{d}{dx}(2+x)=1$$

evaluar $\frac{-\frac{x}{|x|}}{1}$ en $x=-2$ produce

$$\frac{-\frac{-2}{|-2|}}{1} = \frac{-(-1)}{1}=1$$