Demuestre que este mapa es una contracción (PDE)

Question

Mi asesor de investigación me ha hecho una pregunta y la verdad es que no sé qué pensar al respecto. El objetivo es demostrar la existencia de una función $u(x,t):\mathbb{R}\times[0,T]\to\mathbb{R}$ que satisface la siguiente EDP: $$\begin{cases}\partial_t^2 u-\partial_x^2 u=(\partial_t u)(\partial_x u)\\u(-,0)=f\in H^s(\mathbb{R})\\\partial_tu(-,0)=g\in H^{s-1}(\mathbb{R}),\end{cases}$$ donde $H^s(\mathbb R)$ es el espacio de Sobolev $$H^s(\mathbb{R})=\{f:\lVert f\rVert_{s,2}=\lVert\hat f(\xi)(1+\lvert\xi\rvert^2)^{s/2}\rVert_2<\infty\},$$ y $s$ es suficientemente grande. Para ello, me dijeron que definiera la norma $$\lVert u\rVert_X=\sup_{t\in[0,T]}(\lVert u\rVert_{s,2}+\lVert\partial_t u\rVert_{s-1,2})$$ en el espacio $$X=\{u\in C([0,T];H^s(\mathbb R))\cap C^1([0,T];H^{s-1}(\mathbb R)) :\lVert u\rVert_X\leq c(\lVert f\rVert_{s,2}+\lVert g\rVert_{s-1,2})\}.$$ Ahora dejemos que $w_0$ satisfacen la ecuación de onda $\partial_t^2 w_0-\partial_x^2 w_0=0$ con datos iniciales $w_0(-,0)=f$ y $\partial_t w_0(-,0)=g$ y para $n>0$ deje $w_n$ satisfacer $$\begin{cases}\partial_t^2 w_n-\partial_x^2 w_n=(\partial_t w_{n-1})(\partial_x w_{n-1})\\w_n(-,0)=f\\\partial_t w_n(-,0)=g.\end{cases}$$ Si podemos demostrar $\Phi=(w_n\mapsto w_{n+1}):X\to X$ es una cartografía de contracción y que $X$ es completa, entonces hemos terminado por el teorema de iteración de Picard.

No sé cómo probar $\Phi$ es una contracción. Entiendo todas las definiciones, he intentado demostrarlo mediante cálculo directo y he intentado aplicar alguno de los teoremas relevantes que conozco, pero no he tenido suerte. Tampoco sé cómo demostrar que $\Phi(u)$ existe incluso para $u$ .

Si alguien tiene una idea de cómo proceder, le agradecería mucho que me diera su opinión. Muchas gracias.

Answer 1

Boceto: En primer lugar, observe que tenemos la siguiente formulación integral \begin{align} u(t, x) = \cos(t\sqrt{-\Delta})f(x)+\frac{\sin(t\sqrt{-\Delta})}{\sqrt{-\Delta}}g(x) -\int^t_0 \frac{\sin((t-t')\sqrt{-\Delta})}{\sqrt{-\Delta}}[\partial_t u(t', \cdot) \partial_x u(t', \cdot)]\ dt', \end{align} entonces vemos que \begin{align} \|u(t)\|_{s,2} \leq&\ \left\| \cos(t\sqrt{-\Delta}) f\right\|_{s,2} + \left\| \frac{\sin(t\sqrt{-\Delta})}{\sqrt{-\Delta}}g\right\|_{s,2}\\ &\ + \left\|\int^t_0 \frac{\sin((t-t')\sqrt{-\Delta})}{\sqrt{-\Delta}}[\partial_t u(t', \cdot) \partial_x u(t', \cdot)]\ dt' \right\|_{s, 2}. \end{align} A continuación, observe que \begin{align} \left\| \cos(t\sqrt{-\Delta}) f\right\|_{s,2}^2 =&\ \int d\xi\ (1+|\xi|^2)^s \cos^2(t|\xi|)|\hat f(\xi)|^2\\ \leq&\ \int d\xi\ (1+|\xi|^2)^s|\hat f(\xi)|^2 = \| f\|_{s, 2}^2 \end{align} y \begin{align} \left\| \frac{\sin(t\sqrt{-\Delta})}{\sqrt{-\Delta}}g\right\|_{s,2}^2=&\ \int d\xi\ \frac{\sin^2(t|\xi|)}{|\xi|^2}(1+|\xi|^2)^s|\hat g(\xi)|^2 \\ =&\ \int_{|\xi|\leq 1}d\xi\ \frac{t^2\sin^2(t|\xi|)}{t^2|\xi|^2}(1+|\xi|^2)^s|\hat g(\xi)|^2 + \int_{|\xi|\geq 1} d\xi\ \frac{\sin^2(t|\xi|)}{|\xi|^2}(1+|\xi|^2)^s|\hat g(\xi)|^2 \\ \leq&\ 2t^2 \int_{|\xi|\leq 1} d\xi\ (1+|\xi|^2)^{s-1}|\hat g(\xi)|^2\\ & + \int_{|\xi|\geq 1} d\xi\ (1+|\xi|^2)^{s-1}|\hat g(\xi)|^2\\ \leq&\ (1+2T^2)\|g\|_{s-1, 2}^2. \end{align}

Para el término no lineal, vemos que \begin{align} &\left\|\int^t_0 \frac{\sin((t-t')\sqrt{-\Delta})}{\sqrt{-\Delta}}[\partial_t u(t', \cdot) \partial_x u(t', \cdot)]\ dt' \right\|_{s, 2}\\ &\leq \sqrt{1+2T^2}\int^T_0\left\| \partial_t u(t', \cdot) \partial_x u(t', \cdot) \right\|_{s-1, 2}\ dt'\\ &=\sqrt{1+2T^2}\int^T_0\left\| \partial_t u(t', \cdot) \partial_x u(t', \cdot) \right\|_{s-1, 2}\ dt'. \end{align} Utilizando la estimación del producto de Sobolev y $L^\infty$ -Sobolev, obtenemos \begin{align} \left\| \partial_t u(t', \cdot) \partial_x u(t', \cdot) \right\|_{s-1, 2} \leq&\ \|\partial_t u\|_{s-1, 2}\|\partial_x u\|_{0, \infty}+\|\partial_t u\|_{0, \infty}\|\partial_x u\|_{s-1, 2}\\ \leq&\ C\|\partial_t u\|_{s-1, 2}\|u\|_{s, 2} \end{align} proporcionado $s>\frac{3}{2}$ .

Por último, vemos que \begin{align} \sqrt{1+2T^2}\int^T_0\left\| \partial_t u(t', \cdot) \partial_x u(t', \cdot) \right\|_{s-1, 2}\ dt'\leq C\sqrt{1+2T^2}T \sup_{t \in [0, T]}\|\partial_t u(t)\|_{s-1, 2}\sup_{t \in [0, T]}\|u(t)\|_{s, 2}. \end{align}

De ello se deduce \begin{align} \|u(t)\|_{s,2} \leq C(T)\left(\|f\|_{s, 2}+\|g\|_{s-1, 2}+T\|u\|_X^2\right). \end{align}

Dejaré que demuestres que \begin{align} \|\partial_t u(t)\|_{s-1,2} \leq C(T)\left(\|f\|_{s, 2}+\|g\|_{s-1, 2}+T\|u\|_X^2\right). \end{align}

Por último, vemos que \begin{align} \|u\|_X \leq C(T)\left(\|f\|_{s, 2}+\|g\|_{s-1, 2}+T\|u\|_X^2\right). \end{align}

Por lo tanto, para $T$ suficientemente pequeño tenemos que existe $C>0$ tal que \begin{align} \|u\|_X \leq C(\|f\|_{s, 2}+\|g\|_{s-1, 2}). \end{align} Así, si establecemos el esquema de iteración, obtendremos \begin{align} \|u_n\|_X \leq C(\|f\|_{s, 2}+\|g\|_{s-1, 2}) \end{align} para todos $n$ .

Dejaré que usted complete los detalles restantes.

Una pista más: Para demostrar que se tiene una contracción, basta con demostrar \begin{align} \int^T_0\|\partial_t u(t, \cdot)\partial_x u(t, \cdot)-\partial_t v(t, \cdot)\partial_x v(t, \cdot)\|_{s-1, 2} dt \leq L\|u-v\|_X \end{align} para alguna constante $L$ en función de $T$ .