Deje que$T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ sea una transformación lineal. Demuestre que hay$a,b\in \mathbb{R}$ tal que$T^2+aT+bI=0$.

Question

Este es un problema de el libro de Álgebra Lineal por Larry Smith y el autor ha introducido Espacios Vectoriales. Este problema se muestra en el capítulo introductorio de Transformaciones Lineales.

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Deje $T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ser transformación lineal. Mostrar que hay $a,b\in \mathbb{R}$ tal que $T^2+aT+bI=0$.

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Creo que he trabajado a cabo la prueba, pero yo estaba buscando una manera más sencilla. He aquí cómo lo hice:

He definido $T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ por $T(x,y)=(t_1 (x,y) , t_2 (x,y))$ donde $t_1$ e $t_2$ son funciones de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$. Me mostró que $T$ es una transformación lineal iff $t_1$ e $t_2$ son transformaciones lineales. Ya que cada transformación lineal de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ es de la forma $ax+by$ para todos los $(x,y)\in \mathbb{R}^2$, lo he completado mediante la comparación de los componentes.

Hay alguna hasta el momento la mejor manera de hacer esto?

Answer 1

Elija cualquier vector distinto de cero $v$. A continuación, cualquiera de $Tv$ es linealmente independientes de a$v$o $Tv=pv$ para algunos escalares $p$.

Si $Tv$ es linealmente independientes de a$v$, a continuación, $\{Tv,v\}$ es una base de $\mathbb R^2$. Por lo tanto, $T^2v$ es una combinación lineal de $Tv$ e $v$ e $T^2v+aTv+bv=0$ para algunos escalares $a$ e $b$. De ello se deduce que tanto $(T^2+aT+bI)v$ e $(T^2+aT+bI)(Tv)=T(T^2+aT+bI)v$ son cero. Que es, $T^2+aT+bI$ mapas base de $\mathbb R^2$ a cero. Por lo tanto $T^2+aT+bI$ debe ser cero.

Si $Tv=pv$, a continuación, $(T-pI)v=0$. Deje $u$ ser cualquier vector es linealmente independientes de a$v$. A continuación, $\{u,v\}$ formulario de una base de $\mathbb R^2$. Por lo tanto $Tu$ es una combinación lineal de $u$ e $v$ e $Tu=qu+rv$ para algunos escalares $q$ e $r$. De ello se deduce que tanto $(T-pI)(T-qI)u=(T-pI)(rv)$ e $(T-pI)(T-qI)v=(T-qI)\left((T-pI)v\right)$ son cero. Que es, $(T-pI)(T-qI)$ mapas base de $\mathbb R^2$ a cero. Por lo tanto $(T-pI)(T-qI)$ debe ser cero. Expandir el producto, obtenemos $T^2+aT+bI=0$ para algunos escalares $a$ e $b$.

Edit. Si usted se siente cómodo con el concepto de polinomio mínimo, una mejor prueba es demostrar que el polinomio mínimo de un operador lineal $T$ a una $n$-dimensional espacio vectorial es en la mayoría de los de grado $n$. Ver esta respuesta , por ejemplo.

Answer 2

Deje que $f(\lambda) = \det(T-\lambda I)$ sea el polinomio característico de T. Entonces $f(T)=0$ .

Answer 3

Con un "guiño-guiño-codazo-codazo" a Theo Bendit, respetando su comentario sobre Robert Costa respuesta, sigue lo que es básicamente una variante de la "fuerza bruta", método, pero que ilustra la importancia de la traza y el determinante:

$\Bbb R^2$ está en posesión de la norma base $(1, 0)^T$, $(0, 1)^T$; en base a esto podemos representar a $T$ por una matriz

$T = \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} \\ t_{21} & t_{22} \end{bmatrix}; \tag 1$

entonces

$T^2 = \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} \\ t_{21} & t_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} \\ t_{21} & t_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t_{11}^2 + t_{12}t_{21} & t_{11}t_{12} + t_{12}t_{22} \\ t_{21}t_{11} + t_{22}t_{21} & t_{12}t_{21} + t_{22}^2 \end{bmatrix}; \tag 2$

nosotros "definir" los dos números reales

$\det (T) = t_{11} t_{22} - t_{12}t_{21}; \tag 3$

$\text{Tr}(T) = t_{11} + t_{22}; \tag 4$

entonces

$T^2 + (\det (T)) I = \begin{bmatrix} t_{11}^2 + t_{11}t_{22} & t_{11}t_{12} + t_{12}t_{22} \\ t_{21}t_{11} + t_{22}t_{21} & t_{11}t_{22} + t_{22}^2 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} t_{11}(t_{11} + t_{22}) & t_{12}(t_{11} + t_{22}) \\ t_{21}(t_{11} + t_{22}) & t_{22}(t_{11} + t_{22}) \end{bmatrix} = (\text{Tr}(T)) T, \tag 5$

de dónde $T^2 - (\text{Tr}(T))T + (\det (T)) I = 0. \tag 6$