¿Una ruta entre$(x, y)$ y$(-x, -y)$ siempre se intersecará con una copia rotada de 90 grados?

Question

Supongamos que tenemos un camino entre dos puntos de $(x, y)$ e $(-x, -y)$. Si rotamos 90 grados alrededor del origen, la copia se cruza con el original? (Usted puede agregar cualquier número de supuestos para evitar los casos patológicos.)

Parece obvio que lo hace (si se juega con una construcción en la que se puede ver cómo el cambio de la curva en un solo lugar para evitar un cruce con la copia que hace que se cruzan en otro lugar), pero no puedo venir para arriba con una manera de demostrarlo. Mi conjetura es que hay una simple observación me estoy perdiendo.

Antecedentes: Esta es una técnica de paso en una demostración de que polyominoes que cubrir dos esquinas opuestas de su casco sólo puede revestir un rectángulo en una cierta manera. Este paso viene a demostrar que si se rota un polyomino 90 grados y no se superpone con las originales, no se superpone con el original cuando se gira 180 grados).

Edit: Después de conseguir una sensación para que a partir de las respuestas publicadas, me doy cuenta de que es mucho más técnico de lo que pensaba y probablemente no es adecuado para lo que yo quería usar.

Answer 1

Esta prueba supone que hay "vuelta atrás" o movimiento radial (es decir, cada línea a través del origen interseca la curva en exactamente un punto, con la obvia excepción de la línea a través de $(x, y)$ e $(-x, -y)$, que se cruza con la curva dos veces). También, la curva es continua y va en sentido antihorario alrededor del origen de $(x, y)$ a $(-x, -y)$.

Tomar la línea a través del origen y $(-y, x)$ ($90^\circ$ hacia la izquierda girar copia de $(x, y)$). Si la curva se intersecta con la línea en $(-y, x)$ hemos terminado. Si no, se cruza la línea, ya sea fuera o dentro de $(-y, x)$. Digamos que en el interior (como el amarillo, el verde y el naranja ejemplos). A continuación, el $90^\circ$ girar la curva va en el interior de $(-x, -y)$.

Esto significa que si tomamos un continuo "barrido" de las líneas a través del origen, comenzando con el uno a través de $(-y, x)$ y terminando con el uno a través de $(-x, -y)$, entonces la curva original pasa de ser en el interior de la girado curva a estar en el exterior. Por el teorema del valor intermedio se debe intersectar.

Answer 2

Edición de $\quad$ Esta respuesta se pierde en las situaciones donde una curva no caer en los dos casos mencionados (ver la siguiente imagen para dos ejemplos). También es posible que $Y$ desde el primer caso está vacía (por ejemplo, cuando se $D=C$). Sin embargo, esto no afecta el resultado. Un último punto; me doy cuenta de que la tercera suposición no es tan fácil justificado (tomar como un ejemplo de una curva se intersecta a sí mismo infinidad de veces). Por lo tanto, la necesidad de una definición específica de una curva que no permiten infinitas auto-intersecciones para evitar complicaciones.

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He aquí una idea:

Podemos hacer las siguientes suposiciones:

A. 1 $\quad$ Como YiFan dice, podemos suponer sin pérdida de generalidad que los puntos se $A=(-1,0)$, $B=(1,0)$, $A'=(0,-1)$, e $B'=(0,1)$.

A. 2 $\quad$ La curva de $C$ conectar $A$ a $B$ no pasa a través de $A'$ o $B'$. (La frase es trivialmente cierto en tales casos.)

A. 3 $\quad$ La curva de $C$ no se cruza a sí misma. (Dada una curva, podemos simplemente tomar una curva, que es un subconjunto de ella, sin auto-intersecciones.)

Entonces tenemos dos casos:

Caso 1 $\quad$ La curva de $C$ pasa "por debajo" $B'$ y "por encima" $A'$. Deje $D$ ser $C$ girado sobre el origen $180$ grados. Claramente $C\cup D$ identifica una partición del plano; El "perímetro" $P$ de $C\cup D$, la ilimitada subconjunto $X$ consiste de puntos "fuera de" $P$, y el subconjunto acotado $Y$ (posiblemente vacía; ver arriba) que consiste de puntos "dentro de" $P$. Si la curva de $C'$ es un subconjunto de a$X$, entonces no va a ser "entre" $A$ e $B$ como se supone que, por lo tanto tiene un punto compartido con $P$, y hemos terminado.

Caso 2 $\quad$ La curva de $C$ pasa "por encima" $B'$ o "por debajo" $A'$. Consideramos que sólo el primero, y el segundo es similar. De nuevo, dejamos $D$ ser la rotación de $C$ por $180$ grados, y tenemos $P$, $X$, e $Y$ como en el caso 1. En este caso sabemos que $A'$ e $B'$ están en $Y$. Si la curva de $C'$ junto con su $180$ grados de rotación $D'$ desean identificar, mediante su perímetro, un subconjunto acotado del plano que contiene a$A$ e $B$ (como se supone), luego se debe "dar un paso fuera" de $X$. Y cuando lo hacen, se cruzan $P$, y se realiza de nuevo.

A continuación se presentan cinco figuras que ayudan a ilustrar la idea:

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Lo anterior puede ser formalizada a través de conceptos elementales de topología, y el no-tan-primaria teorema conocido como Jordan Curva Teorema. Voy a tratar de publicar una respuesta formal una vez que sabemos qué hacer con los casos que me falta.

Por ahora, voy a dar un par de fórmulas que pueden motivar a una formalización.

Por Jordania Curva Teorema, cada curva cerrada ($C \cup D$ en nuestra aplicación) divide el plano en al menos dos de ruta de componentes conectados, uno de los cuales es el ilimitado exterior que me llame a $X$. La unión de los otros delimitada componentes es lo que yo llamo $Y$, y el perímetro $P$ es el cierre de $Y$ sin $Y$'s interior.

En cuanto a lo que me refiero con "abajo" o "arriba": Dada una curva $C$, andamos en esto de $A$ a $B$, y tomamos nota de la forma en que viajan por escrito una picadura $\rho$ de las letras griegas. Si pasamos a través de la región de la $Y$-eje por debajo de $A'$, escribimos $\alpha$ para ir de izquierda a derecha y $\alpha^{-1}$ para ir de derecha a izquierda. De igual manera, utilizamos $\beta$ e $\gamma$ para la región entre $A'$ e $B'$ y la región por encima de $B'$, respectivamente. Utilizamos $\delta$ (o $\epsilon$, respectivamente) cuando se realiza una rotación en sentido horario alrededor de $A$ (o $B$), y $\delta^{-1}$ (o $\epsilon^{-1}$) para un giro hacia la izquierda. A continuación, podemos comprobar que el Caso 1 se ocupa de esas curvas cuya reducción de $\rho = \sigma \beta \tau$, donde $\sigma$ (o $\tau$, respectivamente) sólo se refiere a las rotaciones $A$ (o $B$). Mientras que el Caso 2 se ocupa de esas donde $\rho = \sigma \alpha \tau$ o $\sigma \delta \tau$, donde $\sigma$ e $\tau$ son como antes. Además, las situaciones en las que echo de menos son aquellos cuyas $\rho$ no tiene este tipo de formulario.

Answer 3

(Nota me perdí un caso que hace que la prueba no válida; dejo mi respuesta, por ahora en el caso de que se pueda guardar. La falta del caso es de 3.3.)

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La idea central de Arthur prueba es ir desde "dentro" y "fuera" sin problemas, necesitamos una intersección. Poner esto juntos de una manera ligeramente diferente, podemos llegar a lo que yo quería mostrar, sin demasiadas suposiciones.

Lema. Supongamos que tenemos una curva cerrada que pasa a través de $A = (x, y)$ e $B = (-x, -y)$. Esta curva se intersecta con una rotación (en cualquier cantidad, en torno al origen) copia de sí mismo.

Prueba. Deje $A'$ ser el punto en la copia que corresponde a $A$, e $B'$ el punto que corresponde a $B'$. Si bien $A'$ o $B'$ mentira en la curva original, hemos terminado, así que vamos a suponer que no.

1. Si uno de $A', B'$ se encuentra en el interior de la original y la otra en el exterior, entonces las curvas debe intersectar (como vamos a pasar de la una a lo largo de la copia, se debe pasar de fuera a dentro, en algún momento, un punto de intersección).

2. Si tanto $A', B'$ se encuentran dentro de la curva original, entonces si no hay ningún otro punto de la copia que se encuentran dentro de la original, la copia entera se encuentra en el interior de la original, lo cual es imposible (curvas deben rodear la misma área, pero el interior debe tener un área menor que la exterior). [Este paso probablemente necesita un poco de trabajo a la cuenta correctamente para la auto-intersección de las curvas, en los casos donde el área es 0, y otras patologías. Para mis propósitos es suficiente para excluir estos casos. Otra posibilidad es la de restringir la rotación a entero las fracciones de una rotación completa.] Para ello, en algún momento de la copia debe quedar en el interior, y, como antes, esto implica que las rutas de acceso deben intersectarse.

3. Si tanto $A', B'$ se encuentran fuera de la curva original, entonces:

   1. Las curvas se cruzan y hemos terminado;
   2. La copia se encuentra completamente dentro de la original, que es imposible como antes; o
   3. Las curvas no se cruzan y uno no está dentro de la otra. [Edit: acabo de descubrir que hay un problema en este caso.]

Teorema. Supongamos que tenemos un camino de $P$ entre dos puntos de $(x,y)$ e $(−x,−y)$. Se cruza una copia rotada 90 grados alrededor del origen.

Prueba. Gire $P$ 180 grados ronda el origen de formar un nuevo camino de $Q$ y 270 grados para formar un nuevo camino de $Q'$.

Ahora tenemos un cerrado de las curvas de $PQ$ que pasa a través de $(x, y)$ e $(−x,−y)$, y una copia $P'Q'$, girado 90 grados alrededor del origen. Estas dos curvas debe intersectar el uno al otro por el lema.

WLG asumir este punto de intersección se encuentra en $P$ en la curva original. Se debe, entonces, o bien se encuentran en $P'$ o $Q'$. Si se encuentra en $P'$, hemos terminado. Si se encuentra en $Q'$, el resultado se sigue de la simetría (acaba de hacer la dirección de todas las rotaciones en sentido anti-horario.)