Como dice el título.
Tenemos 30 personas que necesitan ser divididas en 3 grupos del mismo tamaño. ¿Cuántas posibilidades hay?
Encontré este problema al revisar antiguos exámenes de mi asignatura actual.
Nota: El título es exactamente la formulación traducida de la pregunta.
Parecía bastante sencillo, pero mi respuesta no coincide con la solución. La solución correcta es 5.550.996.791.340. ¿Cómo se resuelve esto?
En primer lugar, tenemos que formar el primer grupo de $10$ personas. Hay $C_{30}^{10}$ formas de hacerlo. Entonces, de los restantes $20$ personas que forman el segundo grupo de $10$ personas. Puedes hacerlo en $C_{20}^{10}$ formas. El resto $10$ la gente va al tercer grupo. Así que el número total de formas de hacer esto es por teorema fundamental de la combinatoria $C_{30}^{10} C_{20}^{10} = \frac{30!}{10!20!}\frac{20!}{10!10!} = \frac{30!}{{(10!)}^3}$
Es $\frac {30!} {(10!)^3}$ - para cada uno de $30!$ permutaciones, pones a las personas en fila según ese orden, los diez primeros van al primer grupo, los diez segundos al segundo y los terceros al tercero. En cada uno de estos grupos el orden no importa, así que divides por el número de ordenaciones posibles.
La respuesta a esto es $$\frac{30!}{10!10!10!}$$
Primero coloca a los alumnos en una fila ( $30!$ posibilidades) y asignar la primera $10$ al instructor $1$ El segundo $10$ al instructor $2$ y el tercero $10$ al instructor $3$ .
Ahora, date cuenta de que todos los posibles desdoblamientos serán contados $10!10!10!$ tiempos.
Así que la división por $10!10!10!$ reparará.
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