Interpretación geométrica del Logaritmo (en $\mathbb{R}$ )

Question

(Nota: limitado a $\mathbb{R}$ )

(Nota: Geométrico significa aquí con regla y compás )

Los enfoques estándar para introducir el concepto de Logaritmo se basan en una exposición previa de la exponencial o simplemente en la de una potencia. A continuación, recibe la aburrida definición de "el inversa del poder".

Una introducción más intuitiva y accesible, que permite hacerlo incluso en el grado 9, es la del entero logaritmo (discreto) ( $\mbox{i}\hspace{-0.15em}\log_b(x)\equiv \lfloor\log_b(x)\rfloor$ ), es decir, mediante la división repetida por la base sin obtener nunca un resultado menor que 1. Ej: 8 puede dividirse consecutivamente 3 veces por 2 (8/2/2/2) antes de que el resultado sea menor que 1. Por lo tanto $\operatorname{ilog}_2(8)=3$ .

Todas las propiedades habituales de los logaritmos pueden derivarse de dicha definición, aunque presumiblemente sólo para los números enteros.

Estoy buscando, sin embargo, un descripción geométrica para $\log_b(x)$ (no sólo el entero $\mbox{i}\hspace{-0.15em}\log_b(x)$ ) y la construcción geométrica del logaritmo entero $\operatorname{ilog}_b(x)$ .

Creo que tengo una geometría tan descripción :

$\log_b(x)$ es la relación en la que una contracción 1/x se estira hasta 1 en relación con el caso de una contracción 1/b .

o bien

$\log_b(x)$ es la relación en la que un estiramiento por un factor x se contrae a 1 en relación con el caso de un estiramiento por un factor b .

Ejemplo: Una contracción de 1/16 puede dilatarse ("acercarse") 4 veces por un factor de 2 para recuperar el tamaño original, mientras que la de 1/8 puede estirarse 3 veces por el mismo factor. Por lo tanto, $\log_8(16)=4/3$ .

Por la misma definición es $\log_y(x)\,=\,1/\log_x(y)$ y por lo tanto $\log_{16}(8)=3/4$ .

La ley fundamental del logaritmo debería resultar igualmente sencilla a partir de ahí:

$$\log_b(x)\,=\,\log_{b'}(x)\,\log_b(b')$$

Esta descripción del logaritmo recuerda a la de la razón cruzada, es decir, una razón de razones, y se aplica a las longitudes, las áreas y los volúmenes.

Sin embargo, en términos de constructibilidad geométrica, el teorema de Gelfond-Schneider parece descartar esto en la mayoría de los casos, ya que $\log_b(x)$ es racional o trascendental. Pero qué pasa con el logaritmo entero,

1. ¿Existe una construcción por compás y regla de $\mbox{i}\hspace{-0.15em}\log_b(x)$ ?

2. Si una construcción geométrica fuera imposible, ¿cuál es la prueba o un esbozo de la misma?

3. Dada la definición anterior en términos de relación de dilataciones, ¿la geometría proyectiva proporcionaría una mejor visión?

4. En este sentido, ¿es ese parecido con la relación cruzada algo más que una coincidencia?

Nota: El cálculo parece proporcionarnos lo que parece una descripción geométrica como el área, $A(x)$ de $f(x)=1/x$ entre $1$ y $x$ . Sin embargo, no me gusta esa respuesta, porque (1) no da la intuición de cómo calcularlo (hace una referencia ad hoc a una hipérbola) y (2) $\log_b(x)$ no es más que el cociente de dos números, a saber, $A(x)/A(b)$ Por lo tanto, la descripción geométrica anterior parece abarcar esta otra.

EDIT: Se han añadido imágenes:

Al girar el dial A de una máquina 1 muesca a la izquierda/derecha, el área de todos sus objetos se reduce/suben en un factor de dos; del mismo modo, el dial B funciona en un factor de 8. Por lo tanto, 3 vueltas del dial A transforman el cuadrado verde, unitario, en el rectángulo naranja, mientras que 4 vueltas lo convierten en el gran cuadrado salmón. ¿Cuánto hay que girar el cuadrante B para que el cuadrado unitario verde se convierta en el cuadrado grande salmón? Respuesta: 4/3 de una muesca.

¿Es el logaritmo una medida proyectiva intrínseca? Por cierto, la distancia hiperbólica de Poincare d_h(p,q) es una medida proyectiva que implica el logaritmo de un cociente cruzado.

Como mencioné en mi segundo comentario a esta entrada, la discusión en aquí y el artículo al que se hace referencia allí puede dar una pista sobre este último punto. A grandes rasgos, un tensor métrico en el semiplano superior viene dado por $ds^2=(dx^2+dy^2)/y^2$ que se traduce en $ds^2=(dx^2+dy^2)/(1-r^2),\;r^2=x^2+y^2<1$ para el disco de Poincare.

Se pueden encontrar más discusiones aquí y aquí

Answer 1

No se trata de una respuesta "per se", sino de dos referencias esclarecedoras (véase más abajo) sobre las preguntas del siglo XVII acerca de la conexión entre la geometría y el análisis.

Estos documentos abordan las transiciones en lo que podría llamarse el "estatus" de los logaritmos. Considerados como "números" prácticos y misteriosos (la visión dada por su descubridor, Napier, a principios del siglo XVII), este estatus sólo ha pasado gradualmente a nuestra visión moderna del "logaritmo" como "función". Uno de los descubrimientos clave ha sido que estos "logaritmos" podían definirse como áreas bajo la hipérbola $y=1/x$ En esa época se produjeron muchas "disputas" interesantes sobre la naturaleza mecánica/no mecánica de esta curva, la constructibilidad de algunos de sus "valores" (objeto de esta pregunta), etc.

Todos estos debates han permitido construir la visión moderna del "tronco" , establecida sobre bases sólidas por Euler (mediados del siglo XVIII)

a) Un documento sobre la "máquina de logaritmos de Descartes" que se puede encontrar allí :

http://www.quadrivium.info/MathInt/MathIntentions.html

b) Un libro completo disponible en línea :

"Resultados de imposibilidad: de la geometría al análisis"

https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01098493/document

por Davide Crippa, historiador de la ciencia. Un documento muy interesante, que dedica en particular un amplio espacio a la ingente labor y a los geniales hallazgos de Huygens, que ha allanado el camino al descubrimiento del cálculo (sobre los logaritmos, véanse en particular las páginas 446-450).

Answer 2

Esta descripción del logaritmo recuerda a la del cociente cruzado, es decir, un cociente de cocientes

No estoy seguro de llamar a esto una proporción de proporciones. Es más bien una relación de logaritmos de relaciones. Cuando escribes cosas como

Una contracción de 1/16 se puede dilatar ("ampliar") 4 veces por un factor de 2 para recuperar el tamaño original

entonces, a mis ojos, estás tomando una operación que en general se considera multiplicativa, a saber, la expansión del factor 2, y cambias la nomenclatura para tratarla como aditiva (en el sentido muy general de una cosa y luego otra cosa), de modo que tu redacción multiplicativa de "4 veces" describe ahora algo que sería exponencial en la mayoría de los formalismos. En cierto modo, has tomado el logaritmo en tus construcciones lingüísticas.

Por supuesto, una cosa que puedes hacer (y que algunos instructores han hecho) es utilizar la buena y vieja regla de cálculo para proporcionar una interpretación algo geométrica de lo que hiciste allí lingüísticamente. La escala logarítmica de la regla de cálculo es algo que te permite realizar multiplicaciones utilizando la mecánica de las sumas (es decir, sumando longitudes). El logaritmo (sin importar la base) se transfiere del dominio multiplicativo al aditivo, y de ahí se pueden derivar otras propiedades. Sin embargo, no estoy seguro de considerar la existencia y el funcionamiento exacto de una regla de trineo como algo menos artificial que esa hipérbola ad hoc, así que esto puede tener un valor limitado.

Otra observación que tiene que ver con las relaciones cruzadas y los logaritmos: Se pueden obtener algunos teoremas interesantes mediante multiplicando determinadas relaciones cruzadas, de manera que algunos factores se anulen. Se pueden tomar los logaritmos de las relaciones cruzadas y obtener cosas que se vuelven interesantes al sumarlas. Una conexión muy sorprendente es la Fórmula de Laguerre que calcula el ángulo entre dos rectas como el logaritmo del cociente de cuatro puntos en el infinito, dos de ellos los puntos del círculo ideal que tienen coordenadas complejas. Ciertamente, muy por encima del 9º grado, necesita $\mathbb C$ no sólo $\mathbb R$ Así que probablemente no sea útil, pero lo encuentro interesante.

1. ¿Existe una construcción por compás y regla de $\operatorname{ilog}_b(x)$ ?

Puedes construir $x\cdot y$ siguiendo a von Staudt: dibujar una línea auxiliar $h$ a través de $0$ . Dibujar $\triangle(1,P,x)$ donde $P$ es un punto arbitrario en $h$ . Entonces construye $\triangle(y,P',xy)$ similar al primer triángulo, utilizando aristas paralelas y un punto $P'$ en $h$ de nuevo. Haciendo esto repetidamente puedes construir $b^k$ . Obviamente $\operatorname{ilog}_b(x)$ (suponiendo que $x>1$ ) es el mayor $k$ tal que $b^k\le x$ . Con un ligero cambio en la construcción original se puede utilizar fácilmente para la división repetida también, si lo prefiere. Así que si se permite la iteración y la comparación, entonces $\operatorname{ilog}$ es construible. No estoy seguro de que esto se ajuste a tu idea de una construcción con brújula y regla. En una configuración proyectiva se puede hacer esto incluso sin un compás, utilizando la línea en el infinito para dibujar paralelas.

2. Si una construcción geométrica fuera imposible, ¿cuál es la prueba o un esbozo de la misma?

No lo he hecho, pero si quieres demostrar que no puede haber forma de calcular $\operatorname{ilog}(x)$ con un límite en el número de pasos de construcción que no depende de $x$ Entonces supongo que buscaría los resultados de los algoritmos numéricos utilizados para calcular logaritmos. Supongo que tienen una complejidad que depende de la entrada y del número de decimales. En cierto modo, $\operatorname{ilog}$ es como pedir cero decimales, pero si la dependencia de la entrada está ahí en los algoritmos de primera línea, eso al menos hace un caso fuerte para que no conozcamos una solución geométrica de longitud fija. Por supuesto, el hecho de no conocer una solución mejor no significa que no la haya, pero tal vez algunos trabajos de investigación hayan establecido límites inferiores absolutos de la complejidad. No lo he comprobado.

3. Dada la definición anterior en términos de relación de dilataciones, ¿la geometría proyectiva proporcionaría una mejor visión?

No se me ocurre nada obvio, y tengo algunos conocimientos de geometría proyectiva. Intentaré tenerlo en cuenta, escribiré una actualización si consigo pensar en algo mejor que la fórmula de Laguerre (descrita anteriormente).