¿qué es exactamente

Question

Es una función lineal, pero ¿qué hace exactamente? Asigna una función de onda $|\psi \rangle$ a un elemento de $\mathbb C$ , pero ¿qué significa eso exactamente? Sé que heurísticamente asigna $\psi$ a su base de posición, pero a partir de su descripción, ¿cómo hace esto?

Answer 1

El objeto de $\langle x\rvert$ tiene varias propiedades matemáticas, sin embargo, uno debe tener cierto cuidado en el trato con él.

La física habitual de "definición" es la siguiente: dada una función de onda $\lvert \psi\rangle\in \mathscr{H}$ describiendo una (no relativista) partícula cuántica, a continuación, $\langle x\vert \psi\rangle=\psi(x)$ es el valor de la función de onda en $x$, e $x\mapsto \lvert \psi(x)\rvert^2$ es la densidad de probabilidad de la posición de la partícula.

Los de arriba "definición", sin embargo, no es matemáticamente exacta. Hay uno principal problema: no hay ningún conjunto de todas partes definidas las funciones de $\mathbb{R}^d$ a $\mathbb{C}$ la formación de un completo espacio de Hilbert. Si uno empieza con las funciones lisas, tales como $C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ o $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$, y se le pone un producto interior en él, el resultado de espacio no es completa con respecto a la topología inducida por el producto interior. Tomando la finalización, por lo general se obtiene un Lebesgue (o Sobolev) de espacio, con el típico exaxmple ser $L^2(\mathbb{R}^d)$. El espacio se compone de clases de equivalencia de casi todas las funciones definidas, y estos objetos no pueden ser definidas en algunos puntos de $\mathbb{R}^d$ (debido a que, en términos generales, a un punto que no es medible).

Por lo tanto, el funcional $\langle x\rvert$ puede ser definido rigurosamente (por la definición anterior) sólo en un subconjunto del espacio de Hilbert de wavefunctions (aunque sea un denso). A partir de ahora, por simplicidad supongamos que el espacio de wavefunctions ser $L^2$. Una opción para el subconjunto denso de la definición de la funcional podría ser $C(\mathbb{R}^d)\cap L^2(\mathbb{R}^d)$, sin embargo la mayoría de los naturales (por muchas razones interesantes que sería demasiado largo para discutir aquí) es el espacio de Schwartz de la rápida disminución de las funciones de $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$. El funcional $\langle x\rvert$ es, con respecto a la costumbre de la topología del espacio de Schwartz, continua para todos los $x\in\mathbb{R}^d$, y lineal (esto es fácil de comprobar). Por lo tanto, es un llamado de distribución, perteneciente al espacio de $\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$.

Físicamente, el conjunto de distribuciones $\{\langle x\rvert\}_{x\in\mathbb{R}^d}$ es considerado como un "posición base", porque de forma heurística estas distribuciones se comportan como vectores propios de la posición del operador. Esta es, sin embargo, sólo es cierto en un sentido débil: dado cualquier Schwartz función de onda $\lvert\psi\rangle$, y la posición de operador de $\hat{x}$, a continuación, $\hat{x}\lvert\psi\rangle$ es todavía un Schwartz función, cuyo valor en $x$ está dado por $\langle x\rvert\hat{x}\lvert\psi\rangle=x\psi(x)$. Por lo tanto, desde el $\hat{x}$ es auto-adjunto, puede ser visto como la actuación de la izquierda en la distribución de la siguiente manera: $\langle x\rvert\hat{x}=x\langle x\rvert$ (una especie de ecuación). No obstante, permítanme señalar que la $\langle x\rvert\notin L^2$, y por lo tanto no es un verdadero vector propio de la posición del operador (sólo la verdadera wavefunctions pueden ser vectores propios). Es un llamado generalizado autovector. Hay un poco complicado, y en mi opinión no es tan útil para la mecánica cuántica) razonablemente bien desarrollada la teoría matemática de vectores propios generalizados para los operadores con espectro continuo, que fue desarrollada principalmente por la escuela rusa (Gel'fand, Shilov).

Answer 2

Para cualquier espacio vectorial puede definir un conjunto de funcionales lineales que se asignan a los elementos de este vector en el espacio en números.Nadie, creo, se interesa en la forma. Sólo hace eso. Por esta definición, el espacio de lineal funcionales constituye un espacio vectorial en su propio derecho. Para este espacio vectorial se puede definir tales funcionales que, al actuar sobre los elementos de la original espacio vectorial base apenas uno o cero. Estos son los llamados de doble vectores de la base de la doble espacio, el espacio dual de ser sólo este espacio de lineal funcionales. Con estos funcionales definidos de esta manera podemos escribir los vectores duales en esta doble base y actuar sobre vectores. Podemos interior de productos y tales cosas.Es mathematicaly más significativo para definir interior o producto escalar de esta manera.

Answer 3

Creo que, para el aprendizaje de la QM, es mejor no preocuparse por lo que $\langle \psi |$ es. Más bien, se centran en $|\psi\rangle$---un vector de estado, y $\langle \phi | \psi\rangle$\begin{cases} 1 & \quad \text{if %#%#%} \\ x & \quad \text{if %#%#%} \\ x(F_{n-1}+ F_{n-2}) & \quad \text{if %#%#%} \enduna innner producto entre un estado de vectores y de otro. Si usted todavía está intervenida por lo $\langle \psi |$ es, entonces dices a ti mismo "es la Hermitian conjugado de $| \psi\rangle$".

La combinación de $\langle B | A\rangle$ tiene muchas interpretaciones útiles. En lugar de decir solamente la verdad, sino más bien abstracto "mapas de un estado a un número complejo", usted puede mantenerse en la vanguardia de su mente todos de los siguientes:

$\langle B | A\rangle$ puede ser considerado como "la superposición de $|A\rangle$ e $| B\rangle$" o "el grado en que $|A\rangle$ es como $|B\rangle$" o "el coeficiente de $|B\rangle$ si usted escribe $|A\rangle$ como una superposición de $|B\rangle$ y otro ortogonal de las cosas" o "el que, cuando mod-cuadrado, da la probabilidad de que una medición de un sistema en estado de $|A\rangle$ producirá $|B\rangle$."