Un anillo no nulo $R$ es un campo si y sólo si para cualquier anillo no nulo $S$ cualquier homomorfismo de anillo de $R$ a $S$ es inyectiva.

Question

Demuestre que un anillo no nulo $R$ es un campo si y sólo si para cualquier anillo no nulo $S$ cualquier homomorfismo de anillo unital de $R$ a $S$ es inyectiva.

Me gustaría verificar mi prueba, especialmente la implicación inversa.

$\Rightarrow$ Dejemos que $S$ sea un anillo cualquiera, y $f:R\rightarrow S$ sea un homomorfismo de anillo. Si $x\in \ker f$ donde $x$ es distinto de cero, entonces $0= f(x)f(x^{-1}) = f(xx^{-1})=f(1) = 1$ contradicción. Así, $x=0$ Así que $f$ es inyectiva.

$\Leftarrow$ Como todo homomorfismo de anillo es inyectivo, los únicos ideales de $R$ son $\{0\}$ y $R$ . Así, $R$ es un campo.

Answer 1

¡Sí, esta prueba me parece buena!

Answer 2

La prueba es casi buena, pero ( $\Rightarrow$ ) se puede simplificar y ( $\Leftarrow$ ) es un poco rápido (estás utilizando el hecho de que todo ideal propio es el núcleo de un homomorfismo no nulo, sin mencionarlo).

Para ambos argumentos, explotamos que un anillo (conmutativo) $R$ es un campo si y sólo si sus únicos ideales son $\{0\}$ y $R$ .

( $\Rightarrow$ ) Ya que $R$ es un campo, el núcleo de $f\colon R\to S$ es $\{0\}$ o $R$ . Desde $1\notin\ker f$ concluimos que $\ker f=\{0\}$ y por lo tanto $f$ es inyectiva.

( $\Leftarrow$ ) Supongamos $I$ es un ideal propio de $R$ . Entonces el anillo $R/I$ es distinto de cero, por lo que el homomorfismo canónico $\pi\colon R\to R/I$ es inyectiva por suposición. Por lo tanto, $I=\{0\}$ .