Mi pregunta es sobre la búsqueda de la Mentira algebra de un determinado grupo Mentira. Empezar con una Mentira grupo $G$, con la normal de la Mentira de los subgrupos $C \unlhd G$. A continuación, defina los siguientes subgrupos $\hat{G} \leq G \times G$: \begin{equation} \hat{G} = \{ (g_{1}, g_{2}) \in G \times G \mid g_{2}g_{1}^{-1} \in C \}. \end{equation} Quiero mostrar que la Mentira álgebra de $\hat{G}$ es la siguiente \begin{equation} Lie(\hat{G}) = \{ (X,Y) \in Lie(G \times G) \mid X - Y \in Lie(C) \}. \end{equation} Tenga en cuenta que estoy usando el hecho de que $Lie(\hat{G}) = \{ (X,Y) \in Lie(G \times G) \mid \exp(t(X,Y)) \in \hat{G} \text{ for all } t \}$. Con este hecho, yo era capaz de mostrar contención en una sola dirección; es decir, si $\exp(t(X,Y)) = (\exp(tX), \exp(tY)) \in \hat{G}$ todos los $t$, $\exp(tY)\exp(-tX) \in C$ todos los $t$, y así diferenciar a $t = 0$ nos encontramos con que $Y - X \in Lie(C)$.
He intentado un par de cosas para mostrar la otra contención, pero nada de lo que parecía ser en la dirección correcta.
Gracias.
