Un problema en fracciones de un muy antiguo libro de aritmética

Question

Similar en vena a un problema que publiqué antes aquí me interesaría que alguien me diera alguna pista de cómo se puede resolver esta cuestión desde el mismo libro de texto de aritmética:

"Simplificar

$$ \frac {23401369863013698630136986301369629}{34500729927007299270072992700729582}"$$

Es importante señalar que el libro se publicó originalmente en 1947, mucho antes de que se dispusiera de ayudas electrónicas para el cálculo en las escuelas, por lo que debe existir un método que se pueda llevar a cabo en lápiz y papel sin una cantidad ridícula de esfuerzo (y papel).

He tratado de buscar formas de detectar algunos factores comunes bastante grandes del numerador y el denominador que podrían ser fácilmente cancelados, pero sin éxito. Debería haber alguna forma astuta de hacerlo que haga uso de la naturaleza "casi periódica" de los dígitos en ambos números, pero no la he visto.

Nota: la respuesta simplificada tiene sólo 7 dígitos en el numerador y el denominador.

Answer 1

El bloque de repetición en el numerador es $01369863$ la última cuadra, $01369629$ es defectuoso por exactamente $234$ los primeros tres dígitos. Lo mismo ocurre en el denominador: el bloque de repetición es $00729927$ y el último bloque, $00729582$ es defectuoso por $345$ los tres dígitos principales. Que $a=01369863$ , $b=00729927$ y $x=10^8$ entonces la fracción es

$$ \begin {align*} \frac {234x^4+a(x^3+x^2+x+1)-234}{345x^4+b(x^3+x^2+x+1)-345}&= \frac {234+ \frac {a}{x-1}}{345+ \frac {b}{x-1}} \cdot\frac {x^4-1}{x^4-1} \\\\ &= \frac {234(x-1)+a}{345(x-1)+b} \\\\ &= \frac {234 \cdot99999999 +1369863}{345 \cdot99999999 +729927} \\\\ &= \frac {23400000000-234+1369863}{34500000000-345+729927} \\\\ &= \frac {23401369629}{34500729582} \\\\ &= \frac {2600152181}{3833414398} \\\\ &= \frac {236377471}{348492218}\;, \end {align*}$$

Aún no ha bajado a seis dígitos, pero mejor; los dos últimos pasos eliminaron factores de $9$ y $11$ que son reconocibles por pruebas elementales. Sabiendo que se puede simplificar aún más, yo podría Piense en la prueba de la divisibilidad por $101$ : $71-74+37-36+2=0$ y de manera similar en el denominador. Eso lo reduce finalmente a

$$ \frac {2,340,371}{3,450,418}\;.$$

(De hecho, tengo que ex post facto del comentario del viejo John).

Answer 2

Evidentemente el gcd es un largo cálculo a mano, y propenso a errores en cualquier caso. Así que, es un engaño. ¿Dice algo relevante en el texto?

Tue Nov 26 13:37:03 PST 2013
GCD ( 34500729927007299270072992700729582, 23401369863013698630136986301369629 ) 
 quotient 1
GCD ( 23401369863013698630136986301369629, 11099360063993600639936006399359953 ) 

 quotient 2
GCD ( 11099360063993600639936006399359953, 1202649735026497350264973502649723 ) 

 quotient 9
GCD ( 1202649735026497350264973502649723, 275512448755124487551244875512446 ) 

 quotient 4
GCD ( 275512448755124487551244875512446, 100599940005999400059994000599939 ) 

 quotient 2
GCD ( 100599940005999400059994000599939, 74312568743125687431256874312568 ) 

 quotient 1
GCD ( 74312568743125687431256874312568, 26287371262873712628737126287371 ) 

 quotient 2
GCD ( 26287371262873712628737126287371, 21737826217378262173782621737826 ) 

 quotient 1
GCD ( 21737826217378262173782621737826, 4549545045495450454954504549545 ) 

 quotient 4
GCD ( 4549545045495450454954504549545, 3539646035396460353964603539646 ) 

 quotient 1
GCD ( 3539646035396460353964603539646, 1009899010098990100989901009899 ) 

 quotient 3
GCD ( 1009899010098990100989901009899, 509949005099490050994900509949 ) 

 quotient 1
GCD ( 509949005099490050994900509949, 499950004999500049995000499950 ) 

 quotient 1
GCD ( 499950004999500049995000499950, 9999000099990000999900009999 ) 

 quotient 50
GCD ( 9999000099990000999900009999, 0 ) 

Tue Nov 26 13:37:03 PST 2013