Entiendo que un conjunto puede llamarse infinitamente contable si se puede inyectar con$\mathbb{N}$, pero se siente mal en muchos niveles al decir que son del mismo tamaño.
Ejemplo:$A=\{x \in \mathbb{N} \mid \exists k\in\mathbb{N}\, (x=2k)\}$ es intuitivamente más pequeño que$\mathbb{N}$ porque es$50\%$ en tamaño de$\mathbb{N}$. Pero es infinitamente contable.
Sí, con un lado de observación.
Hay muchas maneras de medir los tamaños de los conjuntos infinitos, dependiendo del contexto. La más básica es la cardinalidad, y dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si hay un bijection entre ellos.
Si está claro que el "tamaño" medio "cardinalidad", entonces es perfectamente correcto decir que.
También relacionado con:
Dos conjuntos son "el mismo tamaño" es, mejor dicho, como "dos conjuntos tienen la misma cardinalidad" cuando existe un bijection de uno a otro.
Pero, esencialmente, el "tamaño" de un conjunto es el "cardinalidad del conjunto". Mejor aún, hablando de tamaño, especialmente cuando se habla del tamaño de los conjuntos infinitos, contables o de otra manera, es una cuestión de la cardinalidad de los conjuntos.
El cardenal aritmética actúa casi como sería de esperar cuando el examen de la cardinalidad de tamaño finito de conjuntos. Pero los números cardinales y cardenal de la aritmética, en concreto, al equiparar o la comparación de la cardinalidad de los conjuntos infinitos, no es necesariamente lo que nos iba a "esperar", intuitivamente, hasta tener una firme comprensión de lo que representa la cardinalidad.
Por ejemplo, el intervalo/subconjunto de los números reales dado por el intervalo de $(0, 1)$ tiene la misma cardinalidad ("tamaño") como el conjunto de los números reales! No hay, de hecho, existe un bijection del intervalo de $(0, 1)$ para el conjunto de los números reales. También aquí, parece muy poco intuitivo para decir eso, que es por qué una comprensión completa de lo que la cardinalidad es (y qué no es) es crucial.
Como un aparte: usted podría estar interesado en este post: Un conjunto es infinito si y sólo si es equivalente a un subconjunto de sí mismo. Aquí, "equivalente a" medio "tiene la misma cardinalidad".
Si se aplica una función inyectiva de un conjunto, de forma intuitiva, la imagen debe ser del mismo tamaño que el conjunto original. Su conjunto es el resultado de la aplicación de la inyectiva función de "multiplicar por 2" para el conjunto de $\mathbb N$, por lo que intuitivamente debería ser del mismo tamaño como $\mathbb N$.
Pero como usted bien señala, de manera intuitiva es más pequeño, porque es un subconjunto estricto.
Todo esto nos dice es que las ideas intuitivas de tamaño que se reúnen desde el caso finito no puede transferir para el caso infinito. Usted tiene que renunciar a algunas cosas que son "obviamente verdadero" o "obviamente equivalente" porque con una infinidad de elementos que no están más.
Para una perspectiva diferente de las otras respuestas: usted puede estar interesado en la noción de la (natural) de la densidad de un conjunto de números naturales, que ofrece una idea intuitiva de "tamaño" que concuerda con la idea de que hay 'mitad' números como números enteros — pero con la captura que muy pocos grupos de interés tienen en realidad un no-cero de la densidad! El natural de la densidad de $d(A)$ se define como el límite de $$\lim_{n\to\infty}\frac{\#\{i:i\leq n \wedge i\in A\}}{n}$$ - que es, intuitivamente, el límite del porcentaje de números que son miembros de $A$, ya que consideramos más y más enteros. Es fácil ver que el natural de la densidad de los números pares es $\frac12$, y, en general, la densidad de los múltiplos de $k$$\frac1k$, tal como era de esperar; pero con una o dos excepciones notables, la mayoría de los otros grupos de interés que tienen una densidad tienden a tener una densidad de $0$ (por ejemplo, los números primos, o los números al cuadrado) y algunos juegos (por ejemplo, el conjunto de los números con un número impar de $1$s en su binario de expansión") no tienen la densidad en todos porque el límite no existe.
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