Integral es igual a la suma para la función$L^2$ con la transformación de compatibilidad compacta

Question

Deje que$f\in L^2(\mathbb{R})$ sea tal que$\hat{f}$ sea compatible con$[-\pi,\pi]$. Mostrar que$$\int_\mathbb{R}|f(x)|^2dx=\sum_{-\infty}^\infty|f(n)|^2$ $

Sé que$f$ debe ser continuo y va a$0$ en$\pm\infty$. El término de la izquierda es solo$\|f\|_2^2$. ¿Cómo podemos relacionar eso con la suma de la derecha?

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, puede aplicar la identidad de Parseval en$\hat{f}$:

$$\sum_{n=-\infty}^\infty|c_n|^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|\hat{f}(x)|^2dx,$$ where $$c_n=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \hat{f}(x)e^{-inx}dx.$$ Using the Fourier inversion formula, the left-hand side is $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | f (-n) | ^ 2$, which is the same as $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | f (n) | ^ 2 $.

La aplicación de la fórmula de Plancherel en el lado derecho produce la igualdad deseada.