Si$|f(x+y) - f(x)| \leq g(x)|y|$ para algunos$g \in L^1(\mathbb{R})$, entonces$\int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)$ si existen$f'(a)$ y$f'(b)$

Question

Si $f$ es medible y derivable en casi todas partes y si hay algo de $g \in L^1(\mathbb{R})$ tal que $|f(x+y)-f(x)| \leq g(x)|y|$ en casi todas las $x \in \mathbb{R}$ y todos los $y \in \mathbb{R}$, $f' \in L^1(\mathbb{R})$ y $$\int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a)$$ si $f'(a)$ $f'(b)$ existen.

$f' \in L^1$ es evidente desde $|f'| \leq g \in L^1$ en casi todas partes, así que necesito asesoramiento en la segunda parte.

No he encontrado ninguna manera de hacer uso de la hipótesis de $f'(a)$ $f'(b)$ existente. Todos los correspondientes teoremas que he revisado para al $\int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a)$ mantener para todos los $a$ $b$ requiere de una mayor supuestos que no parecen tener aquí. Así, la suposición de que $f'(a)$ $f'(b)$ debe ser de vital importancia, supongo.

Si definimos $F(x) = \int_{-\infty}^x f'(t)dt$, $F' = f'$ casi en todas partes por lo $\int_a^b F' = \int_a^b f'$, pero esto no se parece a obtener de mí en cualquier lugar. Cualquier consejo se agradece.

Answer 1

Creo que la ecuación se mantiene cuando$f$ es continuo en$a$ y$b$. [Más generalmente si$a$ y$b$ son puntos de Lebesgue de$f$ ]. Considerar $\int_a^{b} \frac {f(x+1/n)-f(x)} {1/n} dx$. Podemos reescribir esto como$n [\int_{a+1/n}^{b+1/n} f(y)dy -\int_a^{b} f(y)dy]$, lo que se simplifica a$n [\int_{b}^{b+1/n} f(y)dy -\int_a^{a+1/n} f(y)dy]$. Claramente, esta última cantidad se acerca a$f(b)-f(a)$ como$n \to \infty$ si$f$ es continuo en$a$ y$b$. Ahora aplique el Teorema de convergencia dominado a$\int_a^{b} \frac {f(x+1/n)-f(x)} {1/n} dx$ para ver que el límite es$\int_a^{b} f'(x)dx$. Por lo tanto,$\int_a^{b} f'(x)dx=f(b)-f(a)$.

Answer 2

He aquí un resultado parcial para "domar" a $f$. Nos gustaría tener la absoluta continuidad, pero al menos tenemos (wlog.) continuidad:

Deje $E\subseteq [a,b]$ el conjunto de puntos de $x$ donde

• $f'(x)$ existe y
• $\forall y\colon |f(x+y)-f(x)|\le g(x)|y|$

Por supuesto, $E$ es casi todos los de $[a,b]$.

Pick $z\in [a,b]$ y se asume que existen secuencias de $x_n\in E\cap [a,z]$, $y_n\in E\cap [z,b]$ tal que $x_n,y_n\to z$ $\lim f(x_n),\lim f(y_n)$ existen en $\Bbb R\cup\{\pm\infty\}$. A continuación, para cada $u\in E\setminus\{z\}$, tenemos $$|f(y_n)-f(u)|\le g(u)|y_n-u| $$ para casi todos los $n$ y $$|f(x_n)-f(u)|\le g(u)|x_n-u| $$ para casi todos los $n$. Llegamos a la conclusión de $$ g(u)\ge \max\left\{\frac{|\lim f(y_n)-f(u)|}{|z-u|},\frac{|\lim f(x_n)-f(u)|}{|z-u|}\right\}\ge \frac{|\lim f(y_n)-\lim f(x_n)|}{2|z-u|}$$ Por lo tanto $g\in L^1$ necesitamos $\lim f(y_n)=\lim f(x_n)$ a fin de evitar la pole en $z$. Además, estos límites deben ser $\in\Bbb R$ hacer $\lim f(y_n)-f(u)$ finito. Como se nos permite tomar constantes secuencias, se deduce que estos límites de la igualdad de $f(z)$ siempre $z\in E$. Podemos redefinir $f(z)$ a los límites anteriores, siempre que $z$ es en el nullset $[a,b]\setminus E$. En otras palabras, podemos suponer que wlog. que $f$ es continua , para empezar. (La existencia de $f'(a)$, $f'(b)$ nos da $a,b\in E$, por lo que nos previene de la redefinición de los valores $f(a)$, $f(b)$).

Con el fin de hacer más progreso, uno también quisiera domar $g$. E. g., si $g$ fueron delimitadas, nos gustaría obtener fácilmente la continuidad absoluta.