Estoy interesado en el mapa de $\phi:S^3 \times S^3 \to GL_4(\mathbb{R})$ da de la siguiente manera:
Deje $(p,q) \in S^3 \times S^3$. Identificamos $p$ $q$ real cuaterniones con la unidad de normas y definir $\phi(p,q)$ a ser el mapa enviar a $v \in \mathbb{H}$ a la del producto $pvq^{-1}$ donde $\mathbb{R}^4$ $\mathbb{H}$ se identifican de la manera obvia como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales. No es difícil mostrar que $\phi$ es un grupo homomorphism.
Me gustaría probar el siguiente en completo detalle:
1) La imagen de $\phi$$SO(4)$.
2) El núcleo de $\phi$ $\{(1,1), (-1, -1)\}$
Me proceder al señalar que los mapas $\phi(p,q)$ son claramente $\mathbb{R}$-lineal, y desde $p$ $q$ tiene unidad de la norma, estos mapas también son fácilmente visto para ser ortogonales. Por lo tanto, tenemos $\phi(S^3 \times S^3) \subseteq O(4)$. Ahora supongamos $\phi(p,q)$ es el mapa de identidad en $\mathbb{R}^4$. Es decir, $pvq^{-1}=v\ \ \ \forall v \in \mathbb{H}$. A continuación, para$v=1 \in \mathbb{H}$,$pq^{-1}=1$, y por lo $p=q$. Considerando las ecuaciones $piq^{-1}=i$, $pjq^{-1}=j$, y $pkq^{-1}=k$, llegamos a la conclusión de que $p=q \in \mathbb{R}$. Desde $\mathbb{R} \cap S^3 = \{\pm1\}$, un fácil compuation muestra que el núcleo de $\phi$$\{(1,1), (-1, -1)\} \cong \mathbb{Z}_2$. No estoy muy seguro sobre el resto de este argumento.
El mapa de $\phi$ es suave desde las entradas de las matrices de $\phi(p,q)$ son polinomios en el $\{1, i, j, k\}$-coordenadas de $p$ $q$ se dio cuenta de como cuaterniones. Desde $S^3 \times S^3$ está conectado, sabemos que $\phi(S^3 \times S^3)$ está contenida en la identidad de los componentes de $O(4)$. Es decir, $\phi(S^3 \times S^3) \subseteq SO(4)$ (podríamos también han comprobado que el factor determinante de forma explícita, pero esto es un poco tedioso). Dado que el núcleo actúa libremente y de manera adecuada en $S^3 \times S^3$, podemos ver que la imagen de $\phi$ es un buen seis dimensiones múltiples. Podemos contar con la dimensión de $SO(4)$ considerando su Mentira álgebra de sesgo de simetría de las matrices. Entonces es fácil ver que la dimensión de $SO(4)$ es de seis. De ello se deduce que la imagen es un espacio abierto de submanfiold de $SO(4)$.
Tenga en cuenta también que $S^3 \times S^3$ es compacto, y también lo es su imagen. Desde $SO(4)$ es Hausdorff, se deduce que la imagen de $\phi$ también está cerrado en $SO(4)$. Desde $SO(4)$ está conectado, se deduce que la imagen de $\phi$ es de $SO(4)$.
Mis preguntas son las siguientes:
1) ¿hay algo mal con este argumento? Incluso exigente correcciones son muy apreciadas.
2) ¿Puede identificar los argumentos que, aunque correcto, usted preferiría hacer de otra manera?
3) ¿Qué más se puede decir acerca de este mapa? Hay un sentido común, razón por la que estos a la izquierda y a la derecha de cuaterniones la multiplicación de las acciones de producir todos los de $SO(4)$? Podemos reformular este argumento en otro idioma, que podría ser más natural? Esta pregunta es un poco abierto, pero sólo porque no estoy seguro de cómo decirlo. La mejor respuesta que me daría alguna pista sobre donde este mapa se ajusta a la imagen general de la situación, si es posible. Tal vez algunos de la aplicación de la cobertura del mapa sería apropiado aquí.
Gracias de antemano por cualquier respuesta.
