¿Comprobar mi solución general a la ecuación diferencial?

Question

Dada ecuación diferencial:$$y' = \frac{(2xy^{3}+4x)}{(x^{2}y^{2}+y^{2})}$ $

Esta es la solución general que obtuve para la ecuación diferencial anterior:$$\frac{1}{3} \ln{\lvert y^3+2\rvert}=\ln{\lvert x^2+1\rvert}+\ln C$ $ ¿Verifique si es correcta?

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Y para la solución que satisface y (1) = 0, esto es lo que obtuve:$$(y^3+2)^{\frac{1}{3}}=(x^2+1)+C$ $

Answer 1

Por el bien de su finalización, voy a correr a través de la solución de la ecuación diferencial. En primer lugar, nuestra ecuación original es el mismo que $$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x)(y^{3} + 2)}{(x^{2} + 1)(y^{2})}.$$ Por separación de variables, obtenemos $$ \frac{y^{2}}{y^{3}+2} dy = \frac{2x}{x^{2}+1} dx.$$ Equivalentemente, $$ \frac{1}{3} \frac{3y^{2}}{y^{3}+2} dy = \frac{2x}{x^{2} + 1} dx.$$ Ahora, se nota que este $$ \frac{1}{3} \frac{d}{dy} \ln \left| y^{3} + 2 \right| = \frac{d}{dx} \ln \left| x^{2} + 1 \right|,$$ así que integrar para obtener $$ \frac{1}{3} \ln \left| y^{3} + 2 \right| = \ln \left| x^{2} + 1 \right| + C.$$

De manera que parte de su respuesta es correcta; he cambiado el nombre de $``\ln C"$ a sólo el $C$.

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Hay, sin embargo, un problema con su solución para el problema de valor inicial. Lo que es más importante, no debería haber ninguna indeterminado constantes! Para resolver el problema de valor inicial, simplemente enchufe $x = 1$ $y = 0$ en la solución general de la ecuación diferencial para averiguar lo $C$ es. Es decir, $$\begin{aligned} \frac{1}{3} \ln \left| (0)^{3} + 2 \right| &= \ln \left| (1)^{2} + 1 \right| + C \\ \frac{1}{3} \ln 2 &= \ln 2 + C \\ -\frac{2}{3} \ln 2 &= C. \end{aligned}$$ Por lo tanto, la solución a su problema de valor inicial es $$\frac{1}{3} \ln \left| y^{3} + 2 \right| = \ln \left| x^{2} + 1 \right| - \frac{2}{3} \ln 2.$$

Answer 2

Reordenando la ecuación diferencial da $$ \frac{y^2 y'}{y^3+2} = \frac{2x}{1+x^2} $$ La integración de este te da la solución general tiene, $$ \frac{1}{3}\log{(2+y^3)} = \log{(1+x^2)}+A, $$ $A$ una constante. Exponentiating ambos lados da $$ y^3+2 = e^{3A}(1+x^2)^3 = B(1+x^2)^3, $$ donde me han redenominado el constante como $B$.

Para encontrar la solución que satisface y(1)=0, se tiene que poner $y=0$ $x=1$ encontrar la constante de $A$ (la solución no debe tener un indeterminado constante si usted tiene uno de primer orden de la ecuación y una condición de contorno!): $$ 2 = B \cdot 2^3, $$ así nos encontramos con que $B=1/4$, o $$ y^3+2 = \frac{1}{4}(1+x^2)^3. $$