¿Qué tan lejos está una forma diferencial de un producto exterior?

Question

Considere dos diferenciales colectores $X$$Y$. Considere ahora un diferencial de la forma (de cualquier orden) $\omega$$X\times Y$. El ejemplo lo más fácil es tomar $\omega=\xi\wedge\eta$ donde $\xi$ es una forma diferenciada en $X$ $\eta$ es una forma diferenciada en $Y$.

En general, cualquier forma de $\omega$ no es un exterior del producto. Es allí una manera de "medir" cuánto $\omega$ difiere de ser una de descomposición?

Estoy buscando algo en el "espíritu" de:

El rango de una matriz que mide la cantidad de la matriz difiere de ser un producto tensor de dos vectores.

Hay un análogo de la cantidad de formas diferenciales?

Gracias.

Answer 1

He aquí una respuesta parcial, lo que da una más análogo directo de la matriz de clasificación ejemplo, pero (al igual que mi anterior comentario) ignora la estructura del producto.

De ello se desprende, en parte, de la subadditivity propiedad $$\text{rank}(A + B) \leq \text{rank} A + \text{rank} B$$ para $m \times n$ matrices $A, B$ que el rango de una matriz $A$ es el mínimo número de $r$ para las que no existen rango-$1$ matrices $M_1, \ldots M_r$ tal que $$A = \sum_{a = 1}^r M_a;$$ in the language of covariant tensors, we can say that for a tensor $Un \in \mathbb{V}^* \otimes \mathbb{W}^*$ this quantity is the smallest number of simple elements $v_a \otimes w_a \in \mathbb{V}^* \otimes \mathbb{W}^*$ such that $$A = \sum_{i = 1}^r v_a \otimes w_a.$$ (Unfortunately, the term tensor rank is already used for the number of arguments of a tensor when viewed as an $\mathbb{F}$con valores de multilineal mapa).

Del mismo modo, para un espacio vectorial $\mathbb{V}$ sobre un campo $\mathbb{F}$, podríamos definir la "cuña rango" de una $k$forma $$\phi \in \Lambda^k \mathbb{V}^*$$ (a falta de una más inspirados nombre) para ser el número mínimo $r$ para los que no son simples de la cuña de productos de $v_a^1 \wedge \cdots \wedge v_a^k$ para los que $$\phi = \sum_{i = 1}^r v_a^1 \wedge \cdots \wedge v_a^k.$$

Para un determinado espacio vectorial de dimensión $n$ y el rango de $k$, es evidente que la cuña rango de cualquier elemento no es más que $\dim \Lambda^k \mathbb{V} = {{n}\choose{k}}$, pero en general será mucho más pequeño que este. También, tenga en cuenta que la cuña rango es invariante bajo la acción natural de la $GL(\mathbb{V})$ $\Lambda^k \mathbb{V}^*$ por el retroceso.

Nota demasiado el no evidentes (para mí) el hecho de cuña rango de un formulario puede cambiar cuando se extiende el campo base $\mathbb{F}$. Por ejemplo, si $\dim \mathbb{V} = 6$$\mathbb{F} = \mathbb{R}$, existe un conjunto abierto de $3$formas de $\phi$ cuyo estabilizadores en virtud de la $GL(\mathbb{V})$-acción son isomorfos a $SU(3)$, y la cuña de rango para cada uno de estos es (creo) $4$. Sin embargo, si vemos cualquier $\phi$ como un elemento de $\mathbb{V} \otimes \mathbb{C}$, su cuña rango es $2$.

El concepto de cuña rango vuelve a ocurrir al menos en algunos lugares interesantes:

• Para $n$ a y $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ o $\mathbb{F} = \mathbb{C}$, la cuña rango de cualquier $2$forma $\phi$$\leq \frac{n}{2}$, y la igualdad sostiene precisamente al $\phi$ es una forma simpléctica en $\mathbb{V}$, es decir, cuando $$\underbrace{\phi \wedge \cdots \wedge \phi}_{n/2} \neq 0.$$ As mentioned in my earlier comment, a $2$-form $\phi$ has wedge rank $1$ iff $\phi \wedge \phi = 0$. In particular, if $\dim \mathbb{V} = 3$, all nonzero $2$-forms have wedge rank $1$, and when $\dim \mathbb{V} = 4$, these results together give an immediate test for determining the "wedge rank" of a $2$-el formulario.

• Para $n = 7$ $\mathbb{F}$ perfecto (incluyendo $\mathbb{R}$$\mathbb{C}$) y $\text{char } \mathbb{F} \neq 2$, la cuña rango de cualquier $3$forma $\phi$$\leq 5$. Si $\mathbb{F} = \mathbb{C}$, entonces la igualdad tiene iff el estabilizador de $\phi$ bajo la acción natural de la $GL(\mathbb{V}) \cong GL(7, \mathbb{C})$ es isomorfo a la excepcional simple complejo Mentira grupo $G_2$ (!), y tal $3$-forma es equivalente a una selección de $7$-dimensiones de la cruz de estructura de producto en $\mathbb{V}$. Si $\mathbb{F} = \mathbb{R}$, el estabilizador en $GL(\mathbb{V}) \cong GL(7, \mathbb{R})$ $3$- forma de cuña rango $5$ es cualquiera de los dos las formas reales de $G_2$. Relatedly, un $3$-formulario puede ser utilizado para la construcción de una $7$-dimensiones de producto cruzado de $\mathbb{V}$, que a su vez puede ser utilizado para construir el álgebra de la octonions (o de alguna manera más extrañas primo, el split-octonions).

Edit he pedido una nueva pregunta de seguimiento de manera efectiva la determinación de cuña rango de general $k$forma: ¿Cómo puedo determinar el número mínimo de simple cuña de productos necesarios para expresar una $k$-forma?

Answer 2

Deje $V$ denotar una $n$-dim espacio vectorial (sobre $\mathbb{R}$, por ejemplo). Recordemos que un $p$forma $\alpha \in \Lambda^p(V^*)$ es descomponible (o simple) iff puede ser escrito como una cuña producto de $1$-formas-es decir, $\alpha = \omega_1 \wedge \cdots \wedge \omega_p$, con cada una de las $\omega_i \in \Lambda^1(V^*) = V^*$.

Definición: Dejar $\alpha \in \Lambda^p(V^*)$ $p$- forma. El espacio de lineal divisores de $\alpha$ es $$L_\alpha := \{\omega \in V^* \colon \omega \wedge \alpha = 0\} \subset V^*.$$

Ejercicio: Vamos a $\alpha \in \Lambda^p(V^*)$ $p$- forma. Entonces:

(a) $\dim(L_\alpha) \leq p$.

(b) $\dim(L_\alpha) = p$ $\iff$ $\alpha$ es descomponible.

La razón para el nombre de "lineal divisores" tiene que ver con la siguiente proposición y corolario:

Prop: Vamos A $\alpha \in \Lambda^p(V^*)$. Deje $q = \dim(L_\alpha)$, y deje $\{\omega^1, \ldots, \omega^q\}$ ser una base de $L_\alpha$. Entonces podemos escribir $$\alpha = \omega^1 \wedge \cdots \wedge \omega^q \wedge \pi$$ para algunos $\pi \in \Lambda^{p-q}(V^*)$.

Que es, se puede "dividir" $\alpha$ por una de las formas de $q$ veces. Dicho de otra manera, $q = \dim(L_\alpha)$ nos dice cuántas veces podemos dividir $\alpha$ por las formas.

Cor: Vamos A $\alpha \in \Lambda^p(V^*)$. Vamos $\omega \in V^*$, $\omega \neq 0$. A continuación, $\alpha = \omega \wedge \psi$ algunos $\psi \in \Lambda^{p-1}(V^*)$ si y sólo si $\alpha \wedge \omega = 0$.

Es decir, $\omega$ "divide a" $\alpha$ si y sólo si $\omega \in L_\alpha$. Esto explica el nombre.

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Referencias

Agricola, Friedrich, "Análisis Global: Formas Diferenciales en el Análisis, la Geometría y la Física."

Bryant, De Chern, Gardner, Goldschmidt, Griffiths, "Exterior Diferencial De Los Sistemas."