¿Cuál es tu definición de vecindario en topología?

Question

Como sabes, Munkres-Topology y Rudin-Analysis son libros de texto ampliamente utilizados para estudiantes universitarios. Todos definen un 'vecindario de $x$' como un conjunto abierto que contiene a $x$, así que he seguido esta definición durante 6 meses. Sin embargo, sorprendentemente, Wikipedia define un 'vecindario de $x$' como un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene a $x'.

Esto realmente me molesta, ya que esto significa que cada vez que encuentro una definición que hace referencia a un vecindario en Wikipedia, tengo que verificar si esa definición es equivalente a mi definición de un vecindario.

¿Cuál es el más ampliamente utilizado?

Answer 1

La tercera edición (1987) de Análisis real y complejo de Rudin, página 9 de la traducción al francés (1998):

Définissons d'abord un voisinage d'un point $x$ comme un ensemble contenant un ouvert contenant le point $x$. (Veamos primero cómo se define un vecindario de un punto $x$ como un conjunto que contiene un conjunto abierto que a su vez contiene el punto $x$.)

Parece (gracias a @Martin por esto) que las versiones en inglés y en francés discrepan, ya que en la página 9 de la tercera edición en inglés hay una observación entre paréntesis que define los vecindarios:

(Un vecindario de un punto x es, por definición, un conjunto abierto que contiene x.)

Esta decisión del traductor francés del libro de Rudin de modificar esta definición le juega en contra, más adelante en el libro, en la página 35-36 Definición 2.3(d): ahí, el texto en inglés vuelve a definir un vecindario como abierto y menciona entre paréntesis que algunos autores utilizan la otra definición; y todo esto se traduce fielmente en la edición francesa, contradiciendo la elección realizada anteriormente de modificar el texto de Rudin. Traduttore, traditore...

La segunda edición (2000) de Topología de Munkres, efectivamente estipula que todo vecindario es abierto y, justo después de la definición, señala la definición alternativa (páginas 96-97).

En general, parece que los lectores de los libros de Rudin y Munkres podrían no sorprenderse completamente por la versión de Wikipedia, ya que ambos autores, aunque siguen la otra convención, mencionan explícitamente esta.

Answer 2

De mathworld@wolfram:

En un espacio topológico, un entorno abierto de un punto es un conjunto abierto que lo contiene. Un conjunto que contiene un entorno abierto simplemente se llama vecindad.

En la mayoría de los casos, las demostraciones involucran entornos abiertos, por lo que generalmente no debería marcar demasiada diferencia, pero parece que los diferentes libros de texto definen esto de manera diferente.

Answer 3

Dado que la pregunta pregunta "¿Cuál es tu definición?", diré que mi libro Topology and Groupoids (primera edición, "Elements of Modern Topology" (1968)) usa la definición de que un entorno $N$ de $x$ es tal que $x$ está contenido en el interior de $N$. Por lo tanto, en la recta real, $[0,1]$ es un entorno de todos sus puntos excepto $0,1.

En términos prácticos, la diferencia entre las dos definiciones es marginal, excepto que los axiomas de los entornos parecen más simples con la definición más general.

Sigo creyendo que para un principiante, la definición de una topología en términos de entornos es la más intuitiva y de fácil motivación; por lo tanto, para la continuidad está relacionada con los métodos $\varepsilon-\delta$ en análisis. Por supuesto, los estudiantes también deben familiarizarse con la definición de conjunto abierto, incluyendo la de continuidad, pero no se les debe imponer la idea de que solo hay una ruta a los conceptos útiles.

Answer 4

Personalmente, prefiero la definición de que sea un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene el elemento. Cuando la gente dice que un vecindario de $a \in X$ es simplemente un conjunto abierto que contiene el elemento a, elimina algunos casos. Lo explicaré mejor:

Decimos que a es un punto interior de $X \subset \mathbb{R}$ cuando hay un número $\epsilon>0$ tal que el intervalo abierto $(a-\epsilon,a+\epsilon)$ es un subconjunto de X.

El conjunto de los puntos interiores de $X$ se llama el interior del conjunto $X$, representado por $int\space X.

Cuando $a\in int\space X$, decimos que $X$ es un vecindario del punto a.

Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ se llama un conjunto abierto cuando $A = int \space A$, es decir, cuando todos los puntos en A son interiores a A.

Siendo así, cuando un 'vecindario de $x$' se define como un conjunto abierto que contiene a $x$, no se están considerando los casos en los que el conjunto en el que $x$ pertenece es un conjunto cerrado. Digamos que tenemos $c

En el espectro de espacios topológicos, se habla de vecindarios abiertos y cerrados - en ese caso, la definición de un 'vecindario abierto' puede entonces ser expresada como un conjunto abierto que contiene el elemento.