Deje que$X$ sea un espacio topológico, y$G$ un subconjunto abierto. Si$E$ es un componente conectado de$G$, entonces ¿el límite de$E$ está contenido en el de$G$?
Sé que es cierto si$X$ está conectado localmente. Pero sospecho que la afirmación es generalmente falsa, ¿podría alguien dar una prueba si es cierta y, de lo contrario, dar un contraejemplo? Gracias.
Aquí hay un contraejemplo.
Toma$X$ para ser el fanático de Knaster-Kuratowski , y deja que$G$ sea$X\setminus\{p\}$, donde$p$ es el punto de dispersión (ápice) del ventilador. $G$ está totalmente desconectado, por lo que si$E$ es un componente conectado de$G$, entonces$E$ es un singleton y es su propio límite, pero el límite de$G$ es $\{p\}$.
El fenómeno no es muy infrecuente. Es suficiente si$G$ está abierto (por lo que su límite está vacío) y$E$ no está abierto. Entonces $\partial E = \mathrm{cl}(E) \setminus \mathrm{int}(E) = E \setminus \mathrm{int}(E) \neq \emptyset$. Dado que cualquier espacio está cerrado en sí mismo, es suficiente para encontrar un ejemplo de un espacio con componente conectado no abierto, que es un ejercicio topológico elemental.
Un ejemplo:$\{0\}\cup\{\frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \}$, donde$\{0\}$ es un componente no abierto. Otro ejemplo:$\mathbb Q$: cualquier singleton no es un componente abierto.
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