Encuentra un polinomio cúbico.

Question

Si $f(x)$ es un polinomio de grado tres con los principales coeficiente de $1$ tal que $f(1)=1$, $f(2)=4$, $f(3)=9$, a continuación, $f(4)=?,\ f(6/5)=(6/5)^3?$

Yo intento:

Me las arreglé para resolver esta asumiendo polinomio de la forma $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$, a continuación, obtener el valor de $a,b,c$, de nuevo sustituyendo en la ecuación y así sucesivamente....

Pero podemos ver:

$f(x)=q_1(x-1)+1\\f(x)=q_2(x-2)+4\\f(x)=q_3(x-3)+9$

También cuando ponemos a $x=1$ obtenemos $f(1)=1^2$, cuando se $x=2$$f(2)=2^2$, cuando se $x=3$ $f(3)=3^2$ pero $f(4)\neq4^2$ (de respuesta).

Puede que esta información sea utilizada para reproducir $f(x)$ directamente sin utilizar el paso que he descrito en la primera línea de mi solución?

Answer 1

Considerar $g(x) = f(x)-x^2$. Luego,$g(1) = g(2) = g(3) = 0$ y$g$ también es un polinomio cúbico y tiene un coeficiente principal 1. Por lo tanto,$g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ y por lo tanto$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)+x^2$. Ahora sigue que$f(4) = 22$. Se pueden calcular otros valores.

Answer 2

Método largo clásico:

Deje que$f(x) = x^3 + b x^2 + c x + d$ con$f(1) = 1$,$f(2) = 4$,$f(3) = 9$, lo que lleva a \begin{align} f(1) &= 1 = 1 + b + c + d \hspace{10mm} \to d = -b - c \\ f(2) &= 4 = 8 + 4 b + 2 c + d = 8 + 3b + c \hspace{10mm} \to c = -4 - 3b, \, d = 4 + 2b \\ f(3) &= 9 = 27 + 9b + 3c + d = 19 + 2b \end {align} desde donde$b = -5$,$c = 11$, y$d = -6$ y$$f(x) = x^3 - 5 \, x^2 + 11 \, x -6.$ $

Con$f(x)$ entonces \begin{align} f(4) &= 64 - 80 + 55 -6 = 22 \\ f\left(\frac{6}{5}\right) &= \left(\frac{6}{5}\right)^{3} - \frac{36 - 66 + 30}{5} = \left(\frac{6}{5}\right)^{3}. \end {align}

También se puede notar que$f(x)$ se puede ver en la forma$$f(x) = \left(x - \frac{5}{3}\right)^{3} + \frac{8}{3} \, \left( x - \frac{5}{3}\right) + \frac{83}{27}.$ $. A partir de esto, es fácil ver que \begin{align} f\left(\frac{5}{3}\right) &= 3 + \frac{2}{27} \\ f\left(\frac{5}{6}\right) &= \frac{59}{216}. \end {align}