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SiA yB son subconjuntos cerrados del conjunto de números reales, entonces ¿A+B está cerrado?

SeaA yB dos subconjuntos cerrados del conjunto de números reales.

DefineA+B={a+bR:aA,bB}.

¿Es cierto queA+B está cerrado enR?

Si no, ¿podrías dar un contraejemplo?

12voto

Oli Puntos 89

SeaA el conjunto de enteros negativos.

SeaB el conjunto de todos losn+12n donden varía sobre los enteros positivos.

Entonces,A yB están cerrados.

PeroA+B no está cerrado, ya que contiene números cercanos arbitrariamente a0 pero no contiene0.

3voto

Greg Case Puntos 10300

El resultado no es cierto. TomeA={π+n+1:nN} yB={n1+1n+2:nN}. Ambos conjuntos están cerrados,π es un punto límite de su suma, pero no está en su suma.

Si ambosA,B son compactos, también lo es su suma (ya queA+B es la imagen deA×B debajo de la función continua(x,y)x+y). ¿Puedes ver lo que sucede cuando un conjunto es compacto y el otro no?

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