SeaA yB dos subconjuntos cerrados del conjunto de números reales.
DefineA+B={a+b∈R:a∈A,b∈B}.
¿Es cierto queA+B está cerrado enR?
Si no, ¿podrías dar un contraejemplo?
SeaA yB dos subconjuntos cerrados del conjunto de números reales.
DefineA+B={a+b∈R:a∈A,b∈B}.
¿Es cierto queA+B está cerrado enR?
Si no, ¿podrías dar un contraejemplo?
El resultado no es cierto. TomeA={π+n+1:n∈N} yB={−n−1+1n+2:n∈N}. Ambos conjuntos están cerrados,π es un punto límite de su suma, pero no está en su suma.
Si ambosA,B son compactos, también lo es su suma (ya queA+B es la imagen deA×B debajo de la función continua(x,y)↦x+y). ¿Puedes ver lo que sucede cuando un conjunto es compacto y el otro no?
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