Si$A$ y$B$ son subconjuntos cerrados del conjunto de números reales, entonces ¿$A+B$ está cerrado?

Question

Sea$A$ y$B$ dos subconjuntos cerrados del conjunto de números reales.

Define$A+B=\{a+b\in\mathbb{R}:a\in A ,b\in B\}$.

¿Es cierto que$A+B$ está cerrado en$\mathbb{R}$?

Si no, ¿podrías dar un contraejemplo?

Answer 1

Sea$A$ el conjunto de enteros negativos.

Sea$B$ el conjunto de todos los$n+\frac{1}{2^n}$ donde$n$ varía sobre los enteros positivos.

Entonces,$A$ y$B$ están cerrados.

Pero$A+B$ no está cerrado, ya que contiene números cercanos arbitrariamente a$0$ pero no contiene$0$.

Answer 2

El resultado no es cierto. Tome$A=\{\pi+n+1\colon n\in\mathbb N\}$ y$ B=\left \{-n-1+\frac1 {n+2}\colon n\in \mathbb N\right\} $. Ambos conjuntos están cerrados,$\pi $ es un punto límite de su suma, pero no está en su suma.

Si ambos$ A, B $ son compactos, también lo es su suma (ya que$ A+B $ es la imagen de$ A\times B $ debajo de la función continua$(x, y)\mapsto x+y $). ¿Puedes ver lo que sucede cuando un conjunto es compacto y el otro no?