Si$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^p$ converge, para algunos$p>1$ entonces$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ converge.

Question

Si$\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de números reales positivos y$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^p$ converge, para algunos$p>1$ entonces$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ converge.

Arriba está la pregunta completa. He encontrado esta pregunta de otras maneras, pero no con una potencia general de$p$. He visto otras respuestas que utilizan la desigualdad que$|ab| \leq \frac{1}{2} (a^2 + b^2)$. Me preguntaba si habría otra manera sin esta desigualdad.

Answer 1

Sea$q$ el exponente conjugado de$p$, es decir,$q=\frac{p}{p-1}$, tal que$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.
Por la desigualdad de Holder

$$\left|\sum_{n=1}^{N}\frac{a_n}{n}\right| \leq\left(\sum_{n=1}^{N}a_n^p\right)^{1/p}\left(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^q}\right)^{1/q} $ $ y al permitir que$N\to +\infty$ obtengamos$\left|\sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{n}\right|\leq \zeta(q)^{1/q} \sum_{n\geq 1}a_n^p.$