Por que $(a+b)^2= a^2+b^2 + 2ab$? ¿Por qué está el$2ab$ allí?

Question

Cuando estaba haciendo una investigación para encontrar el derivado, encontré algo extraño.

Si$f(x) = x^2$ encuentra el derivado yendo

$$ \ frac {f (x + h) ^ 2-f (x) ^ 2} {h} = \ frac {x ^ 2 +2xh + h ^ 2-x ^ 2} {h}. $$

¿Por qué existe el$2xh$? ¿Alguien puede explicar la lógica detrás de esto? Supongo que más$x$ y$h$ juntos y luego lo cuadran, pero ¿por qué?

Answer 1

Interpretación grafica

La imagen muestra el área de un cuadrado con una longitud de lado de a + b. Aquí puedes ver cómo las 4 áreas pequeñas se convierten en el cuadrado.

Answer 2

\begin{align*} (a+b)(a + b) &= a(a + b) + b(a + b)\quad &(\text{addition distributes over multiplication})\\ &= aa + ab + ba + bb\quad &(\text{multiplication distributes over addition})\\ &= a^2 + ab + ba + b^2\quad &(xx = x^2)\\ &= a^2 + ab + ab + b^2\quad &(\text{multiplication is commutative})\\ &= a^2 + 2ab + b^2 \end{align*}

Answer 3

La razón por la que estás teniendo problemas es porque escribiste mal el problema.

El derivado no es$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)^2-f(x)^2}{h}$ $

pero en realidad$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $

Estás confundiendo$f(x) = x^2$ con$f(x)^2$. Estos no son la misma cosa.

$f(x) = x^2$ significa que para cualquier argumento$x$ que pongas en la función, cuadrarás esa entrada . $f(x)^2$ significa que está cuadrando el resultado después de conectar$x$ en la función, o la salida .

Es por eso $f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$.

Answer 4

La razón es que$(a+b)^2$ no es más que una notación abreviada para$(a+b)(a+b)$. FALTANDO esta expresión da

PS

$$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = \overbrace{a\cdot a}^{\text{FIRST}} + \overbrace{a\cdot b}^{\text{OUTER}} + \overbrace{b\cdot a}^{\text{INNER}} + \overbrace{b\cdot b}^{\text{LAST}} = a^2 + ab + ba + b^2.$ desde el orden de multiplicación no importa para los números reales, así que vemos que

PS

Answer 5

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$