¿Estas dos ecuaciones paramétricas representan la misma curva?

Question

¿Alguien podría ayudarme con esto?

$x = 1 + \cos t$ , $y = 2 + \sin t$ , $ t 2$ ;

$x = t$ , $y = 2 \sqrt{2t t^2}$ , $0 t 2$

Para las siguientes ecuaciones paramétricas, ¿cómo puedo determinar si ambas representan la misma curva? ¿Y cómo representar la curva en una sola ecuación? Lo que he hecho es introducir el valor de x e y de ambas ecuaciones para encontrar el valor de t, pero no sé cómo proceder. ¿O debo dibujar la curva y comprobar si es la misma curva?

Answer 1

$x = 1 + \cos t, \ \ \ y = −2 + \sin t, \ \ \ \pi \leq t \leq 2 \pi$ :

$$(x-1)^2+(y+2)^2=(1 + \cos t-1)^2+(−2 + \sin t+2)^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1 \\ \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2=1$$

$x = t, \ \ \ y = −2 −\sqrt{2t − t^2}, \ \ \ 0 \leq t \leq 2$ :

$$(x-1)^2+(y+2)^2=(t-1)^2+(−2 −\sqrt{2t − t^2}+2)^2=t^2-2t+1+2t-t^2=1 \\ \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2=1$$

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas representan la misma curva.

Answer 2

Dejemos que $$\begin{align} 1+\cos t&=T\\ \Rightarrow \cos t&=T-1\\ \Rightarrow \sin t&=\sqrt{1-(T-1)^2} =\sqrt{2T-T^2}\\ \Rightarrow -2+\sin t&=-2+\sqrt{2T-T^2} \end{align}$$

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas $$x=1+\cos t,\quad y=-2+\sin t$$ y $$x=T,\quad y=-2+\sqrt{2T-T^2}\\ \text{or}\\x=t,\quad y=-2+\sqrt{2t-t^2}\ $$ representan la misma curva.