El área encerrada por la curva polar

Question

No puedo obtener el texto de la respuesta utilizando el método estándar de integración de una ecuación polar. Sin embargo, cuando yo uso una simetría método me lo hagan llegar su respuesta. Puede usted ayudar en la clarificación?

Hallar el área de la región encerrada por $r=4cos(3 \theta)$.

Yo uso $ \frac 12 \int_0^{2\pi} (16cos^2(3\theta) d\theta$. Para $cos^2(3\theta)$ I uso de la identidad $\frac12[1+cos(6\theta)]$

Esto le da a me $\frac{16}{4} \int_0^{2\pi} 1+cos(6\theta) d\theta$.

Esto le da a me $4[\int_0^{2\pi}1 d\theta +\frac16\int_0^{12\pi} cos (u) du]$.

La integral del coseno plazo es $0$, así que conseguir un $\theta $ evaluado a partir de los $0$ a $2\pi$. Esto le da a me $4(2\pi)=8\pi$.

Cuando yo uso un método simétrico A=$6\int_0^{\pi/6}\frac12(16 cos^2(3\theta)d\theta$ I get $4\pi$. Este es el texto de respuesta.

No entiendo por qué mi 2 respuestas no coinciden.

Answer 1

Su primera respuesta es dos veces la respuesta correcta para la siguiente razón: si dejas $\theta$ rango de $\theta=0$ a $\theta=2\pi$, la curva de $r=4\cos(3\theta)$ — que es una flor con tres pétalos — se remonta dos veces, y por lo tanto encontrar el doble de la zona. Si usted traza cuidadosamente a partir de $\theta=0$, que es $(4,0)$ en coordenadas cartesianas, usted verá que la curva se ha completado y vuelve al punto inicial en $\theta=\pi$; y luego, a partir de $\theta=\pi$ a $\theta=2\pi$ que recorrer una vez más.

En el segundo método, hallar el área de una mitad de un pétalo, que determinó correctamente el rango de de $\theta=0$ a $\theta=\dfrac{\pi}{6}$. Ya hay seis de estos la mitad de pétalos, multiplicando por $6$ claramente los rendimientos de la respuesta correcta. Nota, sin embargo, que la toma de las seis de la mitad-los pétalos de la misma "angular ancho" (por así decirlo) como el que va de $\theta=0$ a $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ va a producir el ángulo seis veces más ancha, es decir, de $\theta=0$ a $\theta=\pi$, en consonancia con mi explicación arriba.

Answer 2

Para proporcionar otra perspectiva, puede utilizar el Verde del teorema sobre la forma diferenciada $x \,dy$ a transformar el área de la integral sobre un pétalo en una integral de línea a lo largo de los pétalos:

$$\frac13 A = \text{area of petal} = \int\limits_{\text{petal}}\,1\,dA = \int\limits_{\text{boundary of petal}} x\,dy $$

Desde $r = 4\cos(3\theta)$, el pétalo puede ser parametrizado por $$(x(\theta), y(\theta)) = (r(\theta)\cos\theta, r(\theta)\sin(\theta)) = (4\cos\theta\cos(3\theta), 4\sin\theta\cos(3\theta))$$

para $\theta \in \left[-\frac{\pi}6, \frac{\pi}6\right]$.

La diferenciación de da $dy = (4\cos\theta\cos(3\theta) - 12\sin\theta\sin(3\theta))\,d\theta$ así

$$\frac13 A = \int_{-\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}6}4\cos\theta\cos(3\theta) (4\cos\theta\cos(3\theta) - 12\sin\theta\sin(3\theta))\,d\theta = \frac{4\pi}3$$

por lo $A = 4\pi$.

La integral es un poco engorroso, pero puede ser resuelto mediante el producto de la suma de las fórmulas para el seno y coseno.

Answer 3

$$\int\limits_{\theta = 0}^{2 \pi} 4 |\cos (3 \theta)|\ d\theta = 16$$