" ¿Pero por qué el Teorema de Stoke en forma de "forma diferencial" es equivalente al Teorema de Stoke habitual (que aprendemos en el cálculo multivariable)?"
Puedo responder a esta pregunta.
Tomemos el teorema de Stokes generalizado: $$\int\limits_{\partial M} \omega = \int\limits_M {d\omega } $$ La versión calcográfica multivariable del teorema de Stokes relaciona la integral sobre un 2manifiesto con una integral sobre su frontera, por lo que querremos elegir que omega sea una forma 1.
Podemos lograrlo: $$\omega = {F_x}dx + {F_y}dy + {F_z}dz$$ A continuación, tomamos la derivada exterior: $$d\omega = d{F_x} \wedge dx + d{F_y} \wedge dy + d{F_z} \wedge dz$$ Recordando que $$d{F_x} = {{\partial {F_x}} \over {\partial x}}dx + {{\partial {F_x}} \over {\partial y}}dy + {{\partial {F_x}} \over {\partial z}}dz$$ y utilizando la propiedad de simetría de las formas diferenciales $$d{x^i} \wedge d{x^j} = - d{x^j} \wedge d{x^i}$$ Obtenemos $$d\omega = \left( {{{\partial {F_z}} \over {\partial y}} - {{\partial {F_y}} \over {\partial z}}} \right)dy \wedge dz + \left( {{{\partial {F_x}} \over {\partial z}} - {{\partial {F_z}} \over {\partial x}}} \right)dz \wedge dx + \left( {{{\partial {F_y}} \over {\partial x}} - {{\partial {F_x}} \over {\partial y}}} \right)dx \wedge dy$$
Ahora bien, si observa estos resultados, debería notar $$\omega = \vec F \bullet d\vec r$$ y $$d\omega = \nabla \times \vec F \bullet d\vec A$$ Lo que nos da la versión de cálculo multivariable del Teorema de Stokes: $$\int\limits_{\partial M} {\vec F \bullet d\vec r} = \int\limits_M {\nabla \times \vec F \bullet d\vec A} $$
