Si $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ es una función continua, s.t. $f(x)>0$ todos los $x$, demostrar que no existe $c >0$, s.t. $f(x) > c$ todos los $x$.

Question

Si $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ es una función continua, s.t. $f(x)>0$ todos los $x$, demostrar que no existe $c >0$, s.t. $f(x) > c$ para todo x.

No estoy seguro de cómo abordar este problema, he tratado de demostrar esto mediante el uso de IVT, pero sin resultados hasta el momento.

Answer 1

$f$ continua en $[a,b]$, $f$ alcanza su mínimo , yo.e no es $m \in [a,b]$ tal que $f(x) \ge f(m) \gt 0.$

Para $c:= (1/2)m$ tenemos:

$f(x) \gt c,$ $x\in [a,b].$