La curva de la incrustación en el $\mathbb{P}^3$

Question

Estoy siguiendo un curso de geometría algebraica y tengo una pregunta sobre el hecho de que todos los no-singular de la curva puede ser incrustado en $\mathbb{P}^3$. Usted debe ser consciente de que casi no tengo de fondo en la geometría algebraica. Cuando es de suponer que la curva de $X$ se encuentra ya en algunos $\mathbb{P}^m$ es factible. Se realiza mediante la toma de un punto de $P \in \mathbb{P}^m \backslash X$ fuera de la curva y el proyecto de la curva desde el punto en un hyperplane $H \cong \mathbb{P}^{m-1}$, esto funciona al $m \geq 4$. Las condiciones de $P$ ha de cumplir son los siguientes:

1. $P$ no está en ninguna secante de la línea de $X$,
2. $P$ no está en ninguna de la tangente a la línea de $X$.

Por mi muy limitado de fondo es difícil entender muchas cosas del libro de Hartshorne. ¿Alguien tiene una buena referencia sobre este tema? También me gustaría preguntar qué divisores y sistemas lineales, precisamente, hacer y cómo entran en juego?

Answer 1

Una afín a la curva es$f(x, y) = 0$$\mathbb{C}^2$. Su normalización es nonsingular básicos de álgebra conmutativa. Encontrar su propia referencia.

Cualquier curva proyectiva $C$ $\mathbb{P}^n$ es la unión de la norma afín piezas. Usted puede tomar la normalización de cada uno de estos afín a las piezas por separado, say$$\widetilde{C}_i \to C_i.$$Given the affine normalization $\widetilde{C}_i$, you can put it in $\mathbb{P}^{N_i}$ in any stupid way. Then the fiber product of all these $\widetilde{C}_i$ is contained in product $\mathbb{P}^{N_i}$ Segre product in $\mathbb{P}^M$-much bigger$$M = \prod (N_i + 1) - 1$$or something. The birational component is then nonsingular, because it has affine pieces dominating each of the $\widetilde{C}_i$. Esta prueba se da en algún lugar en Shafarevich, el libro de la geometría algebraica.