Mostrar que $N$ es orthcenter de triángulo $AYZ$

Question

Triángulo $ABC$ tiene la altura $BE,CF$.$M$ es el punto medio de la $BC$. $EF$ y ESTOY cruza en el punto de $N$. Dibujar $NX\perp BC, XY\perp AB, XZ\perp AC(X\in BC, Y\in AB, Z\in AC)$.Mostrar que $N$ es orthcenter de triángulo $AYZ$.

No puedo encontrar ningún lexema para resolver este problema. Cómo podemos dibujar cualquier otra geometría del elemento a resolver.Show me pls!

Answer 1

Primera nota de que $\triangle AEF$ e $\triangle ABC$ son similares. Deje $P$ ser el punto medio de la $EF$, a continuación, $$\angle APE = \angle AMB\tag{1}.$$ Por otra parte, $E,F$ mentira en el círculo con el centro $M$ y el diámetro de la $BC$, lo $MP\perp EF$. Por lo $MNPX$ es circular. De ello se sigue que $$\angle NPX + \angle AMB = 180^\circ.\tag{2}$$ A partir de (1) y (2) llegamos a la conclusión de que $A,P,X$ son colinear. En consecuencia, $$\frac{BX}{XC} = \frac{NE}{NF}.\tag{3}$$ Desde $XZ\parallel BE$, tenemos $EZ : ZC = BX:XC = NE:NF$. Por lo tanto $NZ\parallel CF$, y de manera similar a $NY \parallel BE$ y hemos terminado.

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Nota: (3) puede ser un poco sutil, pero se los dejo a ustedes para aclarar.