En el siguiente enlace de la prueba de los estados:
P = $p_1p_2 \cdot\cdot\cdot p_n + 1$ y sigue el estado de P es primo "mientras $P \not=1$."
Sin embargo este enlace los estados que P podría no ser el primer y da el ejemplo contrario
$2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot13 + 1 = 30031 = 59 \cdot 509$
En la prueba anterior es la suposición de que P es primo correcta debido a que asumen
hay un número finito de números primos y sólo dividir P por $p_i$ donde i = 1,2,...,n?
Respuestas
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Sahiba Arora
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La prueba presentada por L. Shorser es técnicamente correcto, pero tienes que leer toda la cosa y se resisten a la tentación de saltar a conclusiones. Esto sin duda podría ser explicado mejor, y con un flujo más natural.
Supongamos que hay un número finito de números primos y con la etiqueta $p_1, \ldots, p_n$.
Por el bien del argumento, estamos suponiendo que sólo hay $n$ números primos. Hasta ahora tan bueno. Este número $n$ puede ser 0, pero definitivamente no es un número negativo. Digamos que es un entero positivo. Entonces $$P = 1 + \prod_{i = 1}^n p_i.$$ Clearly $P \equiv 1 \pmod{p_i}$ for any $0 < i \leq n$. That's an obvious consequence of how we defined $P$. En este punto, todavía estamos operando bajo la suposición de que hay un número finito de números primos.
En este punto no parece terriblemente importante para mí si $P$ es primo o no. Si $P$ es primo entonces nuestro valor de $n$ estaba mal, pero una lista de $n + 1$ de los números primos es todavía una lista finita de números primos. Tenemos más trabajo que hacer en el fin de refutar la finitud.
Pero tengo un poco por delante de Shorser cuando me dijo $n$ debe ser un entero positivo.
Desde $2$ es un número primo, la lista de $p_i$'s es no vacío.
Es decir, $n > 0$, lo que confirma $P \neq 1$. Además, si todos los $p_i$ son positivos, podemos afirmar también que el $P > p_i$ para cualquier aplicables $i$.
El párrafo con el halmos parece elegante, y es, sin duda conciso, pero mucha de la gente se confunde por elegante y concisa. La suposición de que hay un número finito de números primos es refutado y despedidos en el último párrafo, lo que significa que aún estaba en vigor cuando $P$ dijo ser primo.
Para lo que vale, prefiero explicar Euclides prueba de una manera más detallada, por lo menos de manera elegante. Esperemos que lo que mi explicación carece concisa la elegancia es compensado por la claridad.
Si el $p_i$ realmente son todos los números primos que existen, $P$ debe ser compuesto y debe ser divisible por, al menos, una de las $p_i$. Así que o $P$ debe ser un primer antes desconocíamos, o debe ser el producto de dos o más números primos éramos conscientes.
Entonces, ¿qué podemos hacer con que el primer o los números primos es añadir a nuestra lista finita de números primos, incremento $n$ respectivamente y empezar el proceso de nuevo. Que nos lleve a encontrar, al menos, uno de los más principales que desconocíamos.
Lo que significa que no importa cómo muchos de los números primos sabemos, siempre podemos encontrar los números primos no lo sabía. Por lo tanto, la lista completa de los números primos es infinita.
Yo elijo ver Euclides prueba como proporcionar un método dinámico, por lo que siempre podemos encontrar más de los números primos, en lugar de un objeto estático que sólo se sienta allí.
Digamos que usted sabe 2 y 7 son primos pero no conozco a ningún otro de los números primos. A continuación,$P = 2 \times 7 + 1 = 15 = 3 \times 5$. Ni 3 ni 5 es divisible por 2, y ambas son de menos de 7. Y claramente 5 no es divisible por 4. Así que 3 y 5 debe ser un primo. Ahora sabemos que cuatro de los números primos: 2, 3, 5, 7.
También funciona con los negativos de los números primos, siempre $n$ es positivo. Supongamos $n = 1$$p_1 = -29$. A continuación,$P = -28 = -2 \times 2 \times 7 = 2^2 \times -7$. Esto es de ninguna manera contradice el teorema fundamental de la aritmética, ya que ambos 1 y $-1$ son unidades, pero sí muestra por qué es más conveniente para pegarse a los positivos de los números primos.
Y ¿qué pasa si usted no sabe los números primos? A continuación,$n = 0$$P = 1$. Pero 1 no es un número primo. Hay muchas razones por las que, algunas mucho mejores que otros, y algunos simplemente tonto.
Pero hasta hace un par de siglos atrás, 1 erróneamente se ha considerado un número primo. Lo que si utilizamos $n = 1$$p_1 = 1$? A continuación,$P = 2$, que es indiscutiblemente el primer. Puesto que ahora sabemos que el 2 es primo, se puede quitar de forma segura 1 de la lista de números primos. O podemos seguir allí, la penalización de rendimiento es tan pequeño como para ser de ningún interés para nosotros.
Luego, al continuar el proceso, obtenemos $2\times3\times7\times43+1 = 1807 = 13 \times 139$, etc.
David HAust
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Sí, la primera prueba es correcta. Se aplica el siguiente teorema: $P > 1$ es primo si no tiene el menor divisor primo. Por hipótesis, $\,p_1,\ldots,p_n\,$ son todos los números primos, y ninguno se dividen $\,P = 1+p_1\cdots p_n\,$ por lo que el teorema implica que $P$ es primo, contra la hipótesis, ya que $P > p_i \,\Rightarrow\, P\neq p_i$
Nótese que la deducción de que el $P$ es el primer depende de la hipótesis de que hay sólo un número finito de números primos. Así que si bien es cierto que $P$ es el primer en la hipotética teoría de la "naturales con un número finito de números primos", $P$ no necesita ser el primer en el real de los naturales (como tu ejemplo confirma).
En teorías contradictorias (como los naturales con un número finito de números primos) hay muchos caminos a contradicciones. Algunos puede parecer extraño a primera vista, esp. en íntimamente familiarizados con las teorías como la aritmética de enteros, donde el intermediario de las inferencias son a menudo contraria a una afilada intuición.
