La homología de la botella de Klein y el plano proyectivo: relación entre la homotopía de caminos y las clases de homología

Question

$$ \newcommand{\H}[2]{\tilde{H}_{#1}(#2)} \newcommand{\xto}[1]{\xrightarrow{#1}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} $$

Actualmente estoy trabajando en el cálculo de la homología singular (reducida) tanto de la botella de Klein como del plano proyectivo, donde he tropezado con una confusión similar en ambos ejemplos.

Para la botella Klein $K$ Utilicé Mayer Vietoris con dos bandas de Möbius $A,B$ cuya intersección es también una banda de Möbius, como muestra la imagen:

               ![](https://i.stack.imgur.com/jTwuh.png)

Por lo tanto, cada una de ellas es homotópica a $S^1$ y así obtenemos que $\tilde{H}_n(K) = 0$ para $n > 2$ . Para el resto de los grupos, tenemos la siguiente secuencia exacta corta $$ 0 \to \H{2}{K} \xto{\partial} \H{1}{A \cap B} \xto{i} \H{1}{A} \oplus \H{1}{B} \xto{j} \H{1}{K} \to 0 $$

a partir de la cual tenemos que calcular los grupos restantes. La secuencia es exacta, por lo que tanto

$$ \H{2}{K} = \im\partial = \ker i, $$

y

$$ \H{1}{K} = \im j = \frac{\H{1}{A} \oplus \H{1}{B}}{\ker j} = \frac{\H{1}{A} \oplus \H{1}{B}}{\im i}. $$

Por tanto, para completar el cálculo basta con "entender" $i$ . Si no recuerdo mal, el mapeo se define como la inclusión a cada factor,

$$ \begin{align} i : \H{1}{A &\cap B} \to \H{1}{A} \oplus \H{1}{B} \\ & \bar{x} \longmapsto (\bar{x},-\bar{x}) \end{align} $$

Me he convencido de que desde $\H{1}{A \cap B} \simeq \mathbb{Z}$ todos los ciclos son homólogos y así, por ejemplo, el grupo está generado por $\bar{c}$ la circunferencia central de la banda de Möbius $A \cap B$ . También puedo ver intuitivamente que cuando miramos $c$ en ambos $A$ y $B$ Esto es como dar dos vueltas a estas tiras. Por lo tanto, $i$ debería tener el siguiente aspecto $1 \mapsto (1,-2)$ cuando se observan los grupos a través de los isomorfismos a $\mathbb{Z}$ que en realidad da el resultado deseado de $H_2(K) = 0$ y $H_1(K) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Sin embargo, no me queda claro cómo esta "intuición homotópica" coincide con el álgebra, ya que $i$ tal y como se ha definido, parece que se asigna $\bar{c}$ a los generadores de ambos $A$ y $B$ Por lo tanto, el aspecto es el siguiente $1 \mapsto (1,-1)$ lo que a su vez daría la conclusión incorrecta de que $H_1(K) = \mathbb{Z}$ .

Del mismo modo, he encontrado el mismo problema con el plano proyectivo (real). En un enfoque similar, definí $X = \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ como $D^2$ con identificaciones antipodales en la frontera, y luego he elegido la descomposición $A = X \setminus \{0\}$ , $B = B_\varepsilon(0)$ a partir de la cual aplicar Mayer Vietoris. Esto da de nuevo bastante immeadiatly que $\H{n}{X} = 0$ para $n > 2$ y una vez más conseguimos que

$$ 0 \to \H{2}{X} \xto{\partial} \H{1}{A \cap B} \xto{i} \H{1}{A} \oplus \H{1}{B} \xto{j} \H{1}{X} \to 0 $$

de lo que se desprende que es suficiente con caracterizar $i$ y me encuentro con el mismo malentendido: en el "contexto homotópico", tengo claro que al incrustar la circunferencia $\bar{c} \in \H{1}{A \cap B}$ en $\H{1}{A}$ estará recorriendo el doble de la trayectoria de un generador, y esto coincide con el hecho de que $\H{1}{X} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (es decir $i$ es como $1 \mapsto (2,0)$ ). Pero no veo cómo esto coincide con la construcción homológica: al ver $\bar{c}$ en $\H{1}{A}$ , esta última es isomorfa a $\mathbb{Z}$ y así mi intuición me dice que todas las curvas son homólogas, y además el mapa se define enviando $\bar{c}$ a la combinación formal $\bar{c} \in \H{1}{A \cap B}$ (¿o me equivoco?) por lo que no veo dónde está el $2$ viene de.

Pido disculpas por lo extenso del post, pero pensé que era necesario un contexto adecuado para que esta fuera una pregunta independiente.

¿Qué opinas?

Answer 1

$\newcommand{\im}{\operatorname{im}}$ Siguiendo su notación, dejemos $\bar{c}\in H_1(A\cap B)$ sea la clase de homología de la circunferencia central de la banda de Möbius $A \cap B$ que atraviesa desde el fondo del cuadrado hasta su parte superior y que $\bar{a}\in H_1(A)$ sea la clase de homología de la circunferencia central de la banda de Möbius (azul) $A$ que se recorre desde la parte superior del cuadrado hasta su parte inferior. La siguiente imagen muestra $\bar{c}$ en rojo y $\bar{a}$ en azul:

Se puede cortar este trozo de la botella Klein en cuatro triángulos de la siguiente manera:

Hay singulares 2-simples $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4$ cada uno de los cuales mapea el símplex estándar 2 homeomórficamente en uno de esos cuatro triángulos y tiene sus límites orientados como en el siguiente diagrama:

Esto demuestra que el límite de la cadena de 2 $\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3+\sigma_4$ es precisamente $c+2a$ (nótese que todos los bordes negros se anulan entre sí). Por lo tanto, $\overline{c+2a}=0$ como elemento de $H_1(A)$ . Un argumento similar demuestra una afirmación análoga sobre $H_1(B)$ .

Ahora, bajo las identificaciones $H_1(A\cap B)\simeq \Bbb{Z}$ tomando $\bar{c}$ a $1$ y $H_1(A)\oplus H_1(B)\simeq \Bbb{Z}^2$ tomando $\bar{a}$ y el generador análogo de $H_1(B)$ a $(1,0)$ y $(0,1)$ respectivamente, el mapa $i$ corresponde a la asignación $\Bbb{Z}\ni 1\mapsto (-2,-2)\in\Bbb{Z}^2$ . Esto establece el isomorfismo deseado $$H_1(K)\simeq \frac{H_1(A)\oplus H_1(B)}{\im i}\simeq \frac{\Bbb{Z}^2}{(-2,-2)\Bbb{Z}^2}\simeq \Bbb{Z}\oplus\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}.$$