Los números de Fermat son coprime

Question

Así que hoy en mi final para la teoría de números tenía que probar que los números de Fermat ($F_n=2^{2^n}+1$) son coprime.

Sé que el estándar de prueba, se utiliza la siguiente: $F_n=F_1\cdots F_{n-1}+2$ y, a continuación, el $\gcd$ divide $2$, y no es de dos, y por lo tanto, los números son coprime.

Sin embargo, él nos pidió el uso de la sugerencia: "Vamos a $l$ ser un primer dividiendo $F_n$. ¿Qué se puede decir acerca de la orden de $2$$(\mathbb{Z}/l\mathbb{Z})^\times$?"

He estado pensando en ello y no puedo averiguar cómo utilizar su sugerencia.

Alguna idea?

Answer 1

Si $l$ es un primo que divide a $F_n$,$2^{2^n}\equiv -1 \pmod{l}$, y por lo tanto $2^{2^{n+1}}\equiv 1 \pmod{l}$. Por lo $2$ orden $2^{n+1}$ modulo $l$. De forma equivalente, pero en más del grupo de la teoría de la lengua, (la clase de equivalencia) $2$ orden $2^{n+1}$$(\mathbb{Z}/l\mathbb{Z})^\times$. (El orden de $2$ debe dividir $2^{n+1}$, pero no puede ser $\le 2^n$.)

Si $p$ es un primo que divide a $2^{2^k}+1$, luego por el mismo razonamiento $2$ orden $2^{k+1}$ modulo $p$. Si $k<n$, lo que significa que $p$ no puede ser igual a $l$. Así hemos demostrado que no prime que divide $F_n$ puede dividir cualquier $F_k$$k<n$. Esto demuestra que $F_n$ $F_k$ son relativamente primos.

Comentario: que realmente no necesitamos identificar el orden de $2$ explícitamente. Por si $l$ es un primo que divide a $F_n$,$2^{2^n}\equiv -1 \pmod{l}$. Pero si $p$ es un primo que divide a $F_k$ algunos $k<n$,$2^{2^k}\equiv -1\pmod{p}$, y por lo tanto $2^{2^{k+1}}\equiv 1\pmod{p}$. Desde $k+1 \le n$, esto es imposible.

Answer 2

Deje $A_r=a^{2^r}+1,$

$A_{n+t}=a^{2^{n+t}}+1=(a^{2^n})^{2^t}+1=(A_n-1)^{2^t}+1\equiv2\pmod{A_n}$ por entero $t\ge1$

$\implies(A_{n+t},A_n)=(2,A_n)$

Si $a$ es incluso, $A_r$ será raro si $r\ge1$

$\implies(2,A_n)=1$ $n\ge1$