Demostrando $ \frac{\csc x + \cot x}{\tan x + \sin x} = \cot x\csc x $

Question

Actualmente estoy trabajando en el entendimiento de las identidades trigonométricas. Una pregunta que me tiene perplejo, y no importa cómo me vea, nunca conduce a la prueba. Creo que estoy cometiendo un error al dividir varias fracciones.

$$ \frac{\csc x + \cot x}{\tan x + \sin x} = \cot x\csc x $$

Para mi primer paso que romper la $\csc x$ e $\cot x$ en el numerador y sumarlas a hacer:

$$\frac{\frac{1+\cos x}{\sin x\cos x}}{\tan x+\sin x}$$

Yo luego de simplificar aún más y terminan en:

$$ \frac{\cos x+\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x} $$

A partir de aquí yo no veo ninguna de las identidades, o de las posibles maneras de descomponer este aún más.

Answer 1

$\require{cancel}$ Como cmtappu96 señaló, que cometió un error al agregar $\csc x$ e $\cot x$.

$$\frac{\csc x+\cot x}{\tan x+\sin x}=\frac{\frac{1}{\sin x}+\frac{\cos }{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin x\cos x}{\cos x}}=\frac{\frac{1+\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x(1+\cos x)}{\cos x}}=\frac{\cancel{1+\cos x}}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x\cancel{(1+\cos x)}}$$ $$=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot\frac{1}{\sin x}=\cot x\csc x$$

Answer 2

$$\dfrac{a+b}{\dfrac1a+\dfrac1b}=\cdots=ab$$ for $a+b\ne0$

$\tan x=\dfrac1?,\sin x=\dfrac1?$