No, no tiene por que ser la única en algunas circunstancias.
Suponiendo que no todos los $m_i = 0$ y no todos los $k_i = 0$,
siguiente es un análisis aproximado de la mayoría de los casos.
(la mayoría, pero no todos, porque si algunos $m_i = 0$, puede que no sea posible encontrar un C. M. marco para llevar a cabo el análisis como se indica a continuación).
Caso 1: Todos los $(-1)^{\alpha_i}$ tienen el mismo signo.
El conjunto de ecuaciones que claramente no tienen solución.
Caso 2 Un par de $(-1)^{\alpha_i}$ es positivo y el otro par negativo.
Vamos a decir $(-1)^{\alpha_1} = (-1)^{\alpha_2} = -1, (-1)^{\alpha_3} = (-1)^{\alpha_4} = 1$,
tenemos:
$$\sqrt{k_1^2 + m_1^2} + \sqrt{k_2^2 + m_2^2} = E = \sqrt{k_3^2 + m_3^2} + \sqrt{k_4^2 + m_4^2}$$
Si uno mira el proceso en el C. M. marco, el impulso de la red de entrantes y salientes par de desaparecer. Esto significa:
$$\begin{align}
\vec{k_1} + \vec{k_2} &= \vec{0} \implies k_1 = k_2\\
\vec{k_3} + \vec{k_4} &= \vec{0} \implies k_3 = k_4
\end{align}$$
y, por lo tanto:
$$\sqrt{k_1^2 + m_1^2} + \sqrt{k_1^2 + m_2^2} = E = \sqrt{k_3^2 + m_3^2} + \sqrt{k_3^2 + m_4^2}$$
Desde L. H. S son estrictamente monótona creciente de funciones para $k_1$, R. H. S son estrictamente monótona creciente en función de $k_3$ ambos $k_1$ $k_3$ se determina únicamente por un solo número $E$, la energía en el C. M. marco. Así que en este caso, la configuración es físicamente único.
Caso 3: Una de $(-1)^{\alpha_i}$ tiene signo diferente de los demás.
Vamos a decir $(-1)^{\alpha_1} = (-1)^{\alpha_2} = (-1)^{\alpha_3} = -1$ pero $(-1)^{\alpha_4} = 1$.
La transformación de la C. M. marco, tenemos $k_4 = 0$ y el:
$$\begin{align}
m_4 &= \sqrt{k_1^2 + m_1^2} + \sqrt{k_2^2 + m_2^2} + \sqrt{k_3^2 + m_3^2}\tag{1}\\
\vec{0} &= \vec{k_1} + \vec{k_2} + \vec{k_3}
\end{align}$$
La ecuación de $(1)$ claramente no tiene la respuesta, a menos que $m_4 > m_1 + m_2 + m_3$.
En el orden de los 3 vectores $\vec{k_1}, \vec{k_2}, \vec{k_3}$ total $\vec{0}$, que
debe estar en el mismo plano y su magnitud satisface el triángulo de las desigualdades:
$$k_1 + k_2 \ge k_3,\, k_2 + k_3 \ge k_1 \text{ and } k_3 + k_1 \ge k_2$$
Por el contrario, si usted ha dado 3 números de $k_1, k_2, k_3$ que satisface el triángulo de las desigualdades, un único triángulo puede ser construido. Esto a su vez permite construir
los 3 vectores $\vec{k_1}, \vec{k_2}, \vec{k_3}$, único hasta rotaciones en $\mathbb{R}^3$, que se suma a $\vec{0}$.
Desde $k_1, k_2, k_3$ necesidad de satisfacer $(1)$, el problema básicamente tiene dos grados de libertad.
Caso 3a si dos impulso dado, decir $k_1$$k_2$, se puede obtener una única
$k_3$ mediante la resolución de $(1)$. La física es el único en este caso.
Caso 3b si dos ángulos están dados, decir $\measuredangle(\vec{k_1},\vec{k_2})$$\measuredangle(\vec{k_2},\vec{k_3})$, el tercer ángulo y las proporciones de los lados son conocidos:
$$\begin{align}\measuredangle(\vec{k_3},\vec{k_1}) &= \pi - \measuredangle(\vec{k_1},\vec{k_2}) + \measuredangle(\vec{k_1},\vec{k_3})\\
k_1 : k_2 : k_3 &= \sin(\measuredangle(\vec{k_2},\vec{k_3}))
: \sin(\measuredangle(\vec{k_3},\vec{k_1}))
: \sin(\measuredangle(\vec{k_1},\vec{k_2}))
\end{align}$$
En escala $k_i \mapsto \lambda k_i, i = 1,2,3$, el R. H. S de $(1)$ es estrictamente una
monotónica creciente de la función en $\lambda$. Esto significa que dada las proporciones de los lados,
un único factor de escala $\lambda$ puede ser elegido para satisfacer $(1)$ y podemos determinar
$k_1, k_2, k_3$. La física es, nuevamente, el único en este caso.
Caso 3c si sólo un impulso y un ángulo de impulso con otro impulso es dado, decir $k_1$$\theta = \measuredangle(\vec{k_1},\vec{k_2})$, la física no tiene que ser único. En primer lugar,
$$\vec{k_3} = - ( \vec{k_1} + \vec{k_2} ) \implies k_3^2 = k_1^2 + k_2^2 + 2 k_1 k_2 \cos(\theta)$$
Conéctalo a $(1)$, nos encontramos con $k_2$ va a ser una solución para $x$ en la ecuación:
$$\sqrt{x^2 + m_2^2} + \sqrt{ k_1^2 +x^2 + 2 k_1 x \cos(\theta) + m_3^2} = m_4 - \sqrt{k_1^2 + m_1^2}\tag{2}$$
Si usted lanza en algunos parámetros aleatorios para $k_1, \theta, m_2, m_3$ y la trama de la L. H. S de $(2)$ como una función de la $x$, usted encontrará que ya no necesitan ser monótona. Para algunos
parámetros, hay más de una solución para un valor fijo de R. H. S. Cuando esto sucede, la física ya no es único.
Caso 3d si sólo un impulso y el ángulo entre otros dos momenta dado, dicen
$k_1$ $\theta = \measuredangle(\vec{k_2},\vec{k_3})$ , las soluciones tampoco tiene por qué ser único. No es difícil visualizar esta al $m_2$ $m_3$ están cerca de la masa.
Empezar con un triángulo $ABC$ $\overline{AB} = k_1$ y deje $\overline{BC} = k2, \overline{CA} = k_3$. Si uno imponer la condición de a $\measuredangle{BCA}$ igual a la constante $\pi - \theta$, $C$ estará acostado en un arco circular que pasa a través de $A$$B$. En la masa límite de $m_2, m_3$, la Ecuación de $(1)$ se reduce a:
$$k_2 + k_3 \sim \sqrt{k_2^2+m_2^2} + \sqrt{k_3^2+m_3^2} = m_4 - \sqrt{k_1^2+m_1^2}$$
Esta es la ecuación de una elipse tener $A$ $B$ como focos. En general, el arco circular se cruzará con el de la elipse en cero o dos puntos. Esto significa que en este límite, si la ecuación tiene una solución, la solución es poco probable que sea único.
Conclusión: la configuración es única si todo momenta se dan. Si usted ha mezclado la información acerca de los ímpetus y ángulos, las soluciones no necesita estar físicamente único.
