Estoy tratando de calcular esta integral.
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln(\sin(x))}{\cot(x)}\ \text{d}x$$
Cualquier idea será de ayuda. Gracias.
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yeonsh
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2543
Tenga en cuenta que
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\ln(\sin{x})}{\cot{x}}}\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\ln(\sin{x})\tan{x}}\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\sin{x})\sin{x}}{\cos{x}}\,dx $$ $$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\left(\sqrt{1-\cos^2{x}}\right)\sin{x}}{\cos{x}}\,dx$$
Ahora, establezca $u=\cos{x}\implies du=-\sin{x}\,dx$. También, tenga en cuenta que $\ln\left(\sqrt{1-u^2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(1-u^2\right)$ También, no se olvide de cambiar los límites. Ahora, tenemos
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\left(\sqrt{1-\cos^2{x}}\right)\sin{x}}{\cos{x}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\ln\left(1-u^2\right)}{u}\,du$$
Hay dos caminos que puede tomar desde aquí. Uno de los que me han mostrado a continuación, y el otro es demostrado por el Dr. MV en los comentarios de abajo.
Ahora, necesitamos encontrar lo $\ln\left(1-u^2\right)$ es. Recuerdan la Serie de Maclaurin para un logaritmo natural. Por lo tanto,
$$\ln\left(1-u^2\right)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^{2n}}{n}$$
$$\therefore \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\ln\left(1-u^2\right)}{u}\,du=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^{2n}}{nu}\,du=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{u^{2n-1}}{n}\,du$$ $$=-\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\left.\frac{u^{2n}}{n^2}\right|_{u=0}^{u=1}=-\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$ Desde $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$, $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\ln(\sin{x})}{\cot{x}}}\,dx=-\frac{\pi^2}{24}$$
schooner
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1602
Tenga en cuenta que \begin{eqnarray} &&\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln(\sin(x))}{\cot(x)}\ \text{d}x\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{-1}\sin x\ln(\sin x)\ \text{d}x=\lim_{a\to0,b\to2}\frac{d}{db}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{a-1}(\sin x)^{b-1}\ \text{d}x\\ &=&\lim_{a\to0,b\to2}\frac{d}{db}\frac{1}{2}B\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)\\ &=&\lim_{a\to0,b\to2}\frac{1}{4}B\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)\left(\psi\left(\frac{b}{2}\right)-\psi\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)\\ &=&\lim_{a\to0}\frac{1}{4}B\left(\frac{a}{2},1\right)\left(\psi\left(\frac{b}{2}\right)-\psi\left(\frac{a+2}{2}\right)\right)\\ &=&\lim_{a\to0}\frac{1}{4}B\left(\frac{a}{2},1\right)\left(\psi(1)-\psi\left(\frac{a}{2}+1\right)\right)\\ &=&-\lim_{a\to0}\frac{1}{4}B\left(\frac{a}{2},1\right)\left(\gamma+\psi\left(\frac{a}{2}+1\right)\right)\\ &=&-\lim_{a\to0}\frac{1}{4}\frac{\Gamma(\frac{a}{2})\Gamma(1)}{\Gamma(\frac{a+2}{2})}\left(\gamma+\psi\left(\frac{a}{2}+1\right)\right)\\ &=&-\lim_{a\to0}\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+O(a^2)\right)\left(\frac{\pi^2}{12}a+O(a^2)\right)\\ &=&-\frac{\pi^2}{24}. \end{eqnarray} Aquí se utiliza el siguiente hecho $$ \Gamma(a)\approx\frac{1}{a}, \gamma+\psi(\frac{a}{2}+1)\approx\frac{\pi^2}{12}a.$$
haddar
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4168
Una respuesta parcial: Vamos a $I$ ser la integral dada. Usted puede integrar por partes, dejando $$\begin{matrix}u=\dfrac{\ln(\sin x)}{\cot x}&&&\mathrm{d}v=\mathrm{d}x\\[1ex] \mathrm{d}u=\left(1+\sec^2x\ln(\sin x)\right)\,\mathrm{d}x&&&v=x\end{de la matriz}$$ que los rendimientos de $$\begin{align*} I&=\frac{x\ln(\sin x)}{\cot x}\Bigg|_{x=0}^{x=\pi/2}-\int_0^{\pi/2} x\left(1+\sec^2x\ln(\sin x)\right)\,\mathrm{d}x\\[1ex] &=0-\left(\int_0^{\pi/2}x\,\mathrm{d}x+\int_0^{\pi/2} x\sec^2x\ln(\sin x)\,\mathrm{d}x\right)\\[1ex] &=-\frac{\pi^2}{8}-\int_0^{\pi/2} x\sec^2x\ln(\sin x)\,\mathrm{d}x \end{align*}$$ Resulta que el resto de la integral es el doble de $I$, lo que significa que $3I=-\dfrac{\pi^2}{8}$ o $I=-\dfrac{\pi^2}{24}$. Todavía estoy viendo qué se puede hacer para establecer esta última parte, sin embargo.
