¿Por qué parece que Willmore la energía es siempre cero?

Question

La respuesta es "porque yo voy a ser descuidado," pero el problema es que no sé exactamente donde estoy siendo descuidado. Aquí está mi descuidado argumento:

Deje $M$ ser una suave superficie compacta, sin límite en $\mathbb{R}^3$ y deje $H$ ser su media de curvatura. Si $\langle \cdot, \cdot \rangle$ indica el $L^2$ producto interior, entonces la Willmore energía puede ser expresado como$$W = \langle H, H \rangle.$$, Equivalentemente, ya que significa la curvatura puede ser expresado como $H = \nabla \cdot N$ donde $N$ es la la unidad de campo normal, tenemos $$W = \langle \nabla \cdot N, H \rangle.$$ Pero por Stokes teorema de $$\langle \nabla \cdot N, H \rangle = -\langle N, \nabla H \rangle.$$ And since $\nabla H$ is always tangent to $M$, este producto interior desaparece, es decir, la Willmore la energía es siempre cero!!!

¿De dónde me salen mal? Hay varias posibles defectos-sospecho que el problema básico es que yo no soy de pensar correctamente acerca de cómo obtener cantidades extendido al espacio ambiente. Pero estoy teniendo problemas para poner mi dedo en el problema preciso.

Gracias!

Answer 1

El error se convierte en claro, una vez que usted se pregunte qué "$\nabla \cdot N$" significa. En otras palabras, ¿cuál es la divergencia de la unidad de campo normal? Ya que la superficie está incrustado en $\mathbb{R}^3$, una posibilidad es considerar la función de $\phi$ que representa la distancia a $M$, y deje $N = \nabla \phi$. (Desde $M$ es suave, $\nabla \phi$ va a estar bien definidos en una lo suficientemente pequeño barrio en torno a $M$.) En otras palabras, $N$ ya no es solo la normal a la superficie, pero también le da a las normales para cada conjunto de nivel de la función de distancia.

En este punto sólo estás trabajando con campos vectoriales en $\mathbb{R}^3$ y todo se vuelve fácil. Lo que es más importante, resulta claro que las $\nabla H$ no es tangente a $M$ - considere, por ejemplo, la unidad de la esfera centrada alrededor del origen (como se sugiere por la Voluntad Jagy). Para cualquier punto de $p \in \mathbb{R}^3$ (excluyendo el origen) tenemos

$$ N(p) = p / |p|, $$

es decir, la normal es sólo la normalizado posición. Uno puede fácilmente demostrar que

$$ \nabla \cdot N = 1/|p|, $$

o en otras palabras, la media de la curvatura de una esfera es igual al recíproco de su radio, $r$. Suena bastante bien. De allí que hemos

$$ \nabla H = -p/|p|^3 = -N/r^2, $$

lo que significa que la pendiente de la media de la curvatura es, de hecho, en paralelo a la normal en este caso. El Willmore energía de una esfera de radio $r$, entonces sería

$$ W = \langle H, H \rangle = \langle \nabla \cdot N, H \rangle = -\langle N, \nabla H \rangle = \frac{1}{r^2} \langle N, N \rangle = \frac{4\pi r^2}{r^2} = 4\pi. $$

Buena cosa, porque Willmore energía se supone que la escala invariante y la igualdad de a $4\pi$ (ronda) esferas.