Cómo muchos de los valores de $k$ satisfacer $\left (\frac{k}{p}\right )=\left (\frac{k+1}{p}\right)=1$ donde p es impar primo?

Question

Los valores de $k$ debe ser de entre $1$ $p-1$ esto significa que : $$k\in\left\{1,2,\cdots,p-1\right\}$$

La preguntaes: Dado un extraño prime $p$ ¿Cuál es el número de elementos de a $k\in\left\{1,2,\cdots,p-1\right\}$ tal que $$\left (\frac{k}{p}\right )=\left (\frac{k+1}{p}\right)=1$$

He utilizado el ensayo y error para encontrar los valores de $k$ con diversos números primos y yo no podía encontrar un patrón.

$p = 3: \left(\frac{a}{3}\right)=1$ cuando
$a = 1 $
Por lo tanto, no hay valores de $k$ satisface la ecuación.

$p = 5: \left(\frac{a}{5}\right) = 1$ cuando
$a=1, 4$ Por lo tanto, no hay ningún valor de k que satisface la ecuación.

$p = 7: (a/7) = 1$ cuando $a = 1, 2 ,4$ Puesto que (a/7) = 1 cuando a = 1 y 2, entonces k = 1 satisface la ecuación.

Seguí haciendo esto para cada primer y hasta el 17, pero no puedo encontrar un patrón de encontrar el número de valores de k que satisfaga $\left (\frac{k}{p}\right )=\left (\frac{k+1}{p}\right)=1$ para cada uno de los impares primos.

Answer 1

Este fue un muy duro y sorprendente pregunta que he resuelto (Si cometí algún error, favor de mencionar)

Deje $p$ ser un extraño prime el más importante es $n$ $n+1$ tienen el mismo símbolo de Jacobi si y sólo si $\frac{n+1}{n}=1+n^{-1}$ residuos cuadráticos $\mod p$, por lo que tenemos

$$|A|=\left |\left\{n\Big / \left(\frac{n}{p}\right)=\left(\frac{n+1}{p}\right) 1\leq n\leq p-2 \right\}\right|=\frac{p-3}{2} $$ ( cuenta el número de cuadrados de la forma $1+a$ $a$ es invertible), ahora vamos a $f(x)=\frac{(x-1)^2}{4x}\mod p$, es claro que el rango de $f$ es exactamente el conjunto $A$ ¿por qué?, debido a $f(x)=f(y)$ si y sólo $x=y^{-1}$ o $x=y$ $|Range(f)|=\frac{p-3}{2}$ y es claro también que $Range(f)\subset A$ porque $f(x)$ es un residuo cuadrático si y sólo si $f(x)+1$ es residuo cuadrático (o simplemente calcular $1+f(x)^{-1}=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2$)

Ahora tenemos que determinar el número de elementos de a $f(x)$ que son residuos cuadráticos,vamos a $g$ ser una raíz primitiva de $\mathbb{Z_p}$, la primera (a deshacerse de la inversa) tenemos: $$A=\{f(1),f(g),\cdots,f(g^{\frac{p-3}{2}})\}$$

y ahora veo que $f(g^{k})$ es un residuo cuadrático si y sólo si $g^k$ es una ecuación cuadrática de residuos, y este si y sólo $k$ es aún, por último: $$\left |\left\{n\Big/ \left(\frac{n}{p}\right)=\left(\frac{n+1}{p}\right)=1\ \ \ , 1\leq n\leq p-2 \right\}\right|=\left\lfloor \frac{p-3}{4}\right\rfloor $$ Esto fue muy sorprendente, y también podemos concluir que: $$\left |\left\{n\Big/ \left(\frac{n}{p}\right)=\left(\frac{n+1}{p}\right)=-1\ \ \ , 1\leq n\leq p-2 \right\}\right|=\left\lfloor \frac{p-1}{4}\right\rfloor $$